lecture4
.pdf
Лекція 4
Довічні ануїтети
4.1 Вступ
Довічний ануїтет складається з щорічних виплат, які здійснюються доти, доки отримувач (початкового віку х) живий. Таким чином, довічний ануїтет можна розглядати як правильний ануїтет з терміном, що залежить від тривалості життя Т. Його поточна вартість є випадковою величиною, яку будемо позначати Y.
Разова нетто-премія для довічного ануїтету дорівнює математичному сподіванню Е(Y). Крім того, нас буде цікавити і розподіл величини Y, так само, як і її моменти.
Довічний ануїтет може, з одного боку, бути страховою сумою за полісом страхування (як комбінації чистих доживань); з іншого боку, періодичні виплати страхових внесків можна також розглядати як ануїтет, звичайно, з алгебраїчною зміною знака.
4.2 Елементарні довічні ануїтети
Розглянемо прямий довічний ануїтет, який передбачає щорічні виплати розміром 1, доки застрахований живий. Виплати здійснюються в моменти 0, 1, ...., К. Поточна вартість такого потоку платежів є
|
Y =1+υ +υ2 +...+υK = a |
|
; |
(4.2.1) |
|
||
K +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
розподіл цієї дискретної випадкової величини задається формулою |
|
|
|||||
P(Y = a |
|
) = P(K = k) = k px qx+k , k = 0,1, 2... |
(4.2.2) |
||||
k +1 |
|||||||
При цьому разова нетто-премія, що позначається символом ax , є математичним сподіванням величини (4.2.1):
|
|
|
∞ |
|
||
|
ax := E(a |
|
) = ∑a |
|
k px qx+k . |
(4.2.3) |
K +1 |
k +1 |
|||||
|
|
|
k =0 |
|
|
|
Поточну вартість (4.2.1) можна також зобразити у вигляді |
|
|||||
|
|
∞ |
|
|||
|
Y = ∑υk I{K ≥k}, |
(4.2.4) |
||||
k =0
де ІА – індикаторна функція події А. Математичне сподівання величини (4.2.4) є
∞ |
|
|
ax = ∑υk |
k px . |
(4.2.5) |
k =0
1
Таким чином, ми знайшли два вирази для разової нетто-премії прямого довічного ануїтету. У виразі (4.2.3) ми розглядаємо весь ануїтет як одне ціле, а в (4.2.5) ми його уявляємо як суму чистих доживань.
Разова нетто-премія може бути також зображена через разову нетто-премію довічного страхування, визначену в (3.2.1) і (3.2.3). За рівністю (1.7.2) разова нетто-премія (4.2.1) дорівнює
Y = |
1−υK +1 |
= |
1−Z |
. |
(4.2.6) |
|
d |
d |
|||||
|
|
|
|
(цю формулу можна також отримати, розглядаючи довічний ануїтет як різницю двох нескінченних потоків авансових платежів, один з яких починається в момент 0, а інший – в момент К+1). Переходячи до математичних сподівань, отримуємо
|
ax = |
1 − Ax |
. |
(4.2.7) |
|
||||
|
|
d |
|
|
Після перетворення цієї рівності до вигляду |
|
|||
|
|
|
||
|
1 = dax + Ax |
(4.2.8) |
||
можемо тлумачити її в термінах боргу величиною 1 з виплатою відсотків авансом і останнім платежем 1 у кінці року смерті. Звичайно, моменти вищого порядку для Y можна також знайти з (4.2.6), наприклад
D(Y ) = |
D(Z |
) |
. |
(4.2.9) |
2 |
|
|||
|
d |
|
|
|
Поточною вартістю прямого довічного ануїтету, обмеженого терміном п років, є
a |
|
|
, K = 0,1,...n −1, |
|
|
|
K +1 |
|
|
|
|
Y = |
|
|
|
|
(4.2.10) |
a |
|
, K = n, n + |
1, n +2,... |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подібно до (4.2.3) і (4.2.5), разова нетто-премія може бути зображена або як
n−1
ax:n = ∑ax:k +1 k px qx+k +an n px , k =0
або як
n−1
ax:n = ∑υk k px . k =0
Ми знову маємо
(4.2.11)
(4.2.12)
2
Y = |
1−Z |
. |
|
|
|
|
|
(4.2.13) |
|||||
d |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Але тут Z визначається за допомогою (3.2.12). Як наслідок отримуємо |
|||||||||||||
ax: |
|
= |
1 |
− Ax: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
(4.2.14) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d |
|||||||||
n |
|
|
|
||||||||||
або |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 = dax: |
|
|
+ Ax: |
|
. |
(4.2.15) |
|||||||
n |
n |
||||||||||||
Відповідні безпосередні довічні ануїтети передбачають виплати в моменти 1, 2, …, К:
Y =υ +υ2 +... +υK = a |
|
. |
(4.2.16) |
K |
Випадкові величини (4.2.1) і (4.2.16) відрізняються лише однією складовою, що дорівнює 1. Таким чином, разова нетто-премія ах задається рівністю
ax = ax |
−1. |
(4.2.17) |
|
З рівняння (1.8.7) при n=K отримуємо |
|
||
1 =ia |
|
+(1+i)υK +1. |
(4.2.18) |
K |
|||
Обчислення математичних сподівань дає |
|
||
1 = iax |
+(1+i) Ax . |
(4.2.19) |
|
Поточна вартість відкладеного на m років прямого довічногo ануїтету з щорічними виплатами розміром 1 є
0, |
K = 0,1,..., m −1, |
|
|
|||||
Y = |
m |
+υ |
m+1 |
+... +υ |
K |
, |
K = m, m +1,.... |
(4.2.20) |
υ |
|
|
|
|
||||
Його разова нетто-премія m|ax може бути обчислена за допомогою будь-якого із наступних очевидних співвідношень:
m| |
a |
= |
m |
p |
x |
υma |
, |
(4.2.21) |
||
x |
|
|
|
|
x+m |
|
||||
m| ax = ax −ax: |
|
. |
|
(4.2.22) |
||||||
m |
|
|||||||||
3
4.3 Виплати, що здійснюються частіше, ніж раз на рік.
Розглянемо випадок, коли страхові виплати величиною 1/m здійснюються m разів на рік, тобто в моменти часу 0, 1/m, 2/m, …, доки застрахований початкового віку x живий. Разова
нетто-премія такого ануїтету позначається символом ax( m) . За аналогією до (4.2.8) маємо
1 = d ( m) a( m) + A( m) . |
(4.3.1) |
||||
|
x |
|
x |
|
|
Отже, отримуємо |
|
|
|
|
|
ax( m) = |
1 |
− |
1 |
Ax( m) . |
(4.3.2) |
d ( m) |
d ( m) |
||||
Це рівняння можна тлумачити таким чином: довічний ануїтет з виплатами m разів на рік може розглядатися як різниця двох нескінчених потоків платежів, один з яких починається в момент 0, а інший – в момент K+S(m). Перехід до математичних сподівань дає (4.3.2).
Щоб виразити ax( m) через ax , знову використаємо припущення (а) з 2.6. Тоді (3.3.10)
дозволить нам виразити Ax( m) |
з (4.3.2) через Ax; якщо потім замінити Ax на 1 −dax , то (4.3.2) |
|||||||||||
набуде вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m) |
|
di |
|
|
i −i(m) |
|
|
|
|
|
||
ax |
|
= |
|
|
ax − |
|
|
. |
|
|
|
(4.3.3) |
|
d (m)i(m) |
|
d (m)i(m) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Увівши позначення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
α(m) = |
|
|
di |
|
та |
|
β(m) = |
i −i( m) |
|
, |
(4.3.4) |
|
d ( m)i( m) |
|
d ( m)i( m) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
можна записати (4.3.2) у більш стислому вигляді: |
|
|
||||||||||
ax( m) |
|
=α(m)ax − β(m), |
|
|
|
(4.3.5) |
||||||
Для i=5% коефіцієнти α(m) та β(m) протабульовано нижче при т=12 (щомісячні виплати) і т=∞ (неперервні виплати).
m |
α(m) |
β(m) |
12 |
1.000197 |
0.46651 |
∞ |
1.000198 |
0.50823 |
Практичними, часто використовуваними наближеннями служать |
|
||
α(m)≈1, β(m) ≈ |
m −1 |
. |
(4.3.6) |
|
|||
|
2m |
|
|
Ці наближення отримані з розкладу в ряд Тейлора цих коефіцієнтів в околі δ = 0 , а саме
4
α(m) =1+ |
|
m2 −1 |
2 |
+... , |
|
|||||
|
|
|
|
|
δ |
|
(4.3.7) |
|||
|
12m |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
β(m) = |
m −1 |
+ |
m2 |
−1 |
δ +... . |
(4.3.8) |
||||
2m |
6m |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ці наближення корисні тільки при достатньо малій відсотковій ставці.
Разова нетто-премія тимчасового страхування життя з m авансовими виплатами на рік може бути також обчислена за допомогою α(m) і β(m):
a(m) = a(m) − |
n |
p υna(m) |
= |
|
|||||
x:n |
x |
|
x |
|
x+n |
|
|
||
=α(m)a |
− β(m) − |
n |
p υn (α(m)a |
− β(m)) = |
|||||
|
|
x |
|
|
|
x |
x+n |
|
|
=α(m)ax: |
|
−β(m)(1− n pxυn ). |
(4.3.9) |
||||||
n |
|||||||||
Разова нетто-премія безпосереднього тимчасового ануїтету (заборговані платежі) може бути обчислена в термінах відповідного прямого тимчасового ануїтету:
a(m |
) =a(m |
) − |
1 |
(1− n pxυn ). |
(4.3.10) |
|
m |
||||||
|
||||||
x:n |
x:n |
|
|
|
Повернемося тепер до обчислення ax( m) . Рівняння (4.2.8) і (4.3.1) дають точний вираз
ax( m) = |
d |
ax − |
1 |
( Ax( m) − Ax ), |
(4.3.11) |
|
d ( m) |
d ( m) |
|||||
|
|
|
|
який можна тлумачити таким чином: довічний ануїтет у лівій частині рівності забезпечує виплати величиною 1/m в моменти 0, 1/m, …,K+S(m)-1/m; його можна подати як різницю двох тимчасових ануїтетів: одного – з виплатами в моменти 0, 1/m, …,K+1-1/m і другого – з виплатами в моменти K+S(m), K+S(m)+1/m, …,K+1-1/m. Цей другий ануїтет може, в свою чергу, розглядатися як різниця двох нескінченних потоків платежів (одного – з початком в момент K+S(m) і другого – з початком в момент K+1). Перший тимчасовий ануїтет має ту саму поточну вартість, що і прямий ануїтет з K+1 щорічними виплатами розміром d/d(m). Обчислюючи математичні сподівання цих поточних вартостей, отримаємо (4.3.11).
За припущення (а) із 2.6 можна використати рівняння (3.3.10), що дає
ax(m) = |
d |
ax −β(m)Ax . |
(4.3.12) |
d (m) |
5
4.4 Змінні довічні ануїтети.
Почнемо з розгляду довічного ануїтету з виплатами розміром r0 , r1 , r2 ,... в моменти часу 0, 1, …, К. Його поточна вартість
∞ |
|
Y = ∑υk rk I{K ≥k} |
(4.4.1) |
k =0 |
|
і разова нетто-премія |
|
∞ |
|
E(Y ) = ∑υk rk k px |
(4.4.2) |
k =0 |
|
можуть бути обчислені безпосередньо. |
життя з виплатами z0, z1/m, z2/m,... в |
Розглянемо тепер загальний вигляд страхування |
моменти часу 0, 1/m, 2/m, …, K+S(m)-1/m. Почнемо з заміни m виплат кожного року однією авансовою виплатою з тією ж поточною вартістю:
m−1 |
|
rk = ∑υj / m zk + j / m , k = 0,1, 2,..., |
(4.4.3) |
j=0
Коректуючий член у рік смерті віднімає страхову суму в момeнт k+u, 0<u<1, яка є поточною вартістю виплат, які вже не будуть здійснені до кінця року:
c(k +1) = ∑υj / m−u zk + j / m , k = 0,1, 2,..., |
(4.4.4) |
j J |
|
де J=J(u) – множина тих j {1, 2, …, m-1}, для яких j/m>u. Щоб обчислити разову неттопремію, використаємо припущення (а) з 2.6 і зробимо, як в 3.4. Підставляючи (4.4.4) в (3.4.10), отримаємо
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
m−1 |
|
c + |
= |
∑(1 +i)1− j / m z |
|
|
du = |
∑ j(1+i)1− j / m zk + j / m . |
(4.4.5) |
||
∫ |
+ |
j / m |
|
||||||
k 1 |
|
k |
|
|
m j =1 |
|
|||
|
|
0 |
J |
|
|
|
|
|
|
Таким чином, разова нетто-премія для ануїтету загального виду з m виплатами на рік дорівнює
∞ |
∞ |
|
∑υk rk k px −∑ck +1υk +1 k px qx+k , |
(4.4.6) |
|
k =0 |
k =0 |
|
з коефіцієнтами, визначеними в (4.4.3) і (4.4.5).
Випадок ануїтету з неперервними виплатами отримуємо при переході до границі при m → ∞. Нехай миттєва норма виплат в момент t дорівнює r(t). Тоді поточна вартість є
6
Y = T∫υt r(t)dt. |
(4.4.7) |
0 |
|
Разова нетто-премія
E(Y ) = ∞∫υt r(t) t px dt |
(4.4.8) |
||
|
|
0 |
|
може бути обчислена за (4.4.6) з коефіцієнтами |
|
||
rk |
= ∫1 |
υu r(k +u)du, |
(4.4.9) |
|
0 |
∫ |
|
k |
1 |
|
|
c |
+ = |
1 u(1 +i)1−u r(k +u)du. |
(4.4.10) |
|
|
0 |
|
Проілюструємо це на прикладі неперервного ануїтету з експоненційним ростом:
|
r(t) =eτ t |
|
|
|
(4.4.11) |
|||
Із (4.4.9) і (4.4.10) отримуємо |
|
|||||||
|
rk = |
1−eτ−δ |
eτk , |
(4.4.12) |
||||
|
|
|||||||
|
|
δ −τ |
|
|
|
|
||
|
ck +1 |
= eτ−δ |
−1−(δ −τ) eτ (k +1) . |
(4.4.13) |
||||
|
|
|
|
(δ −τ)2 |
|
|||
Для τ ≠δ |
і |
|
|
|
|
|
|
|
rk |
= eδk , |
ck +1 |
= |
1 |
eδ ( k +1) |
(4.4.14) |
||
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
для τ =δ . У випадку постійної норми виплат τ = 0 (4.4.12) і (4.4.13) перетворюються на
rk = d , ck +1 = β(∞), |
(4.4.15) |
δ
що узгоджується з (4.3.12)
7
4.5 Стандартні типи довічних ануїтетів
Розглянемо довічний ануїтет вигляду (4.4.1) з rk = k +1. Його разова нетто-премія, що позначається символом (Ia)x , може бути обчислена безпосередньо за допомогою (4.4.2).
Величини (Ia)x та (IA)x |
зв’язує просте співвідношення. Замінюючи п на К+1 у рівності |
|||||||
a |
|
= d (Ia) |
|
|
+nυn |
(4.5.1) |
||
n |
n |
|||||||
див. (1.8.12), і обчислюючи математичні сподівання, отримаємо |
|
|||||||
ax = d (Ia)x +(IA)x . |
(4.5.2) |
|||||||
Розглянемо випадок т платежів на рік із щорічними надбавками |
|
|||||||
z |
k + j / m |
= k +1, j =0,1,...,m −1. |
(4.5.3) |
|||||
|
m |
|
|
|||||
Разову нетто-премію цього ануїтету позначають символом (Ia)(xm) . Подаючи цей ануїтет у вигляді суми відкладених ануїтетів, отримаємо з (4.3.5)
∞ |
∞ |
|
(Ia)(xm) = ∑k pxυk ax(m+k) =∑k pxυk (α(m)ax+k − β(m)) = |
|
|
k =0 |
k =0 |
|
∞ |
∞ |
|
=α(m)∑k pxυk ax+k |
−β(m)∑k pxυk =α(m)(Ia)x −β(m)ax . |
(4.5.4) |
k =0 |
k =0 |
|
Поклавши m → ∞, отримаємо відповідний неперервний ануїтет з інтенсивністю виплат r(t)=[t+1]. Його разова нетто-премія задається рівністю
(Ia)x = ∞∫[t +1]υt |
t px dt =α(∞)(Ia)x −β(∞)ax . |
(4.5.5) |
0 |
|
|
Поточною вартістю неперервного ануїтету з інтенсивністю виплат r(t)=t є
|
T |
a |
|
|
−TυT |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Y = ∫tυt dt = (Ia) |
|
= |
T |
|
|
. |
(4.5.6) |
||||||||
|
|
||||||||||||||
T |
|
|
|
δ |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перехід до математичних сподівань дає формулу |
|
||||||||||||||
|
|
|
ax −( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
IA)x |
. |
|
|
|
|
|
(4.5.7) |
|||||||
Ia)x = |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
||||||
Цей вираз можемо обчислити, використовуючи (3.5.18) і (4.3.5) при m = ∞.
8
4.6 Рекурентні формули
Обмежимо обговорення рекурентними формулами для функції |
ax . Замінюючи k px на |
||
px k −1 px+1 у всіх, крім першого, доданках в (4.2.5), знаходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
ax =1+υax+1 px . |
(4.6.1) |
|
Значення ax можна обчислити послідовно, починаючи з найвищого можливого віку. Еквівалентний вираз
ax =1+υax+1 −υax+1qx |
(4.6.2) |
показує, що разова нетто-премія покриває виплату, призначену у віці х, і поточну вартість разової нетто-премії у віці х+1, не враховуючи очікуваного прибутку від смертності. Застосування (4.6.2) до віку x+k дає
ax+k −υax+k +1 =1−υax+k +1qx+k . |
(4.6.3) |
Домноживши це рівняння на υk і підсумувавши за k, отримаємо
∞
ax = a∞ −∑υk +1ax+k +1qx+k . (4.6.4)
k =0
Таким чином, разова нетто-премія може розглядатися як поточна вартість безтермінового потоку платежів, що зменшується щорічно на очікуваний прибуток від смертності. Нарешті, можна записати (4.6.2) у вигляді
|
|
dax+1 =1+(ax+1 −ax ) −υax+1qx , |
(4.6.5) |
||||||||||||
з якого роль заробленого відсоткового прибутку стає очевидною. |
|
||||||||||||||
За аналогією з (4.6.5) можна вивести диференціальне рівняння |
|
||||||||||||||
|
|
δax =1+ |
d |
ax −μx ax , |
|
|
|
|
|
|
|
(4.6.6) |
|||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
підставляючи в (3.6.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
=1−δ |
a |
|
, |
|
d |
|
|
=−δ |
d |
a |
|
. |
(4.6.7) |
|
A |
x |
A |
x |
|||||||||||
|
|
dx |
dx |
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
9
|
|
|
|
|
4.7. Нерівності. |
|||||
Разову нетто-премію ax інколи |
плутають із поточною вартістю a |
|
. Ці величини різні; |
|||||||
D |
||||||||||
насправді має місце нерівність |
|
|
|
ex |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
ax <a |
|
. |
|
|
|
(4.7.1) |
||||
D |
|
|
|
|||||||
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
Беручи до уваги (4.6.7) і рівності υt =1−δa |
|
D |
|
|
|
|||||
|
при t = ex |
, можна знайти еквівалентну нерівність |
||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
x >υeDx . |
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
(4.7.2) |
||||||
Кожна з цих нерівностей є прямим наслідком нерівності Йенсена; наприклад, друга нерівність означає, що
E(υT ) >υE (T ) , |
(4.7.3) |
що очевидно, виходячи із опуклості υt як функції від t.
Далі ми узагальнимо ці нерівності. Розглянемо разову нетто-премію Ax як функцію від
норми відсоткового прибутку δ : |
|
|
||
|
|
(δ) = E(e−δT ). |
(4.7.4) |
|
|
A |
|
||
|
x |
|
|
|
Це перетворення Лапласа розподілу Т. Визначимо також функцію |
|
|
||
|
f (δ) = (E(e−δT ))1/ δ , δ > 0. |
(4.7.5) |
|
|
|
|
|
D |
. Таким |
Для малих значень δ функцію (4.7.4) можна апроксимувати за допомогою 1−δ ex |
||||
чином, lim f (δ) існує і дорівнює |
|
|
||
δ→0 |
|
|
||
|
|
D |
(4.7.6) |
|
|
f (0) =exp(−ex ). |
|
||
Лема. Функція f (δ) монотонно зростає.
Для доведення цього візьмемо два додатніх числа u<w і перевіримо, що
f(w)>f(u). |
(4.7.7) |
Нерівність Йенсена дає
E(e−wT ) =E((e−uT )w/u ) >(E(e−uT ))w/u . |
(4.7.8) |
Тому
10