lecture6
.pdf
Лекція 6
Резерви нетто-премій
6.1 Вступ
Розглянемо страховий поліс, що фінансується нетто-преміями. В момент видачі поліса математичне сподівання поточної вартості майбутніх премій дорівнює математичному сподіванню поточної вартості майбутніх страхових виплат, що робить сподівання збитку страхувальника L рівним нулю.
Ця еквівалентність між майбутніми внесками та майбутніми виплатами не виконується, взагалі кажучи, у більш пізній час. Таким чином,
можна визначити випадкову величину t L як різницю в момент t між поточною вартістю майбутніх страхових виплат і поточною вартістю майбутніх внесків.
Передбачається, що t L не рівне тотожньо нулю і також, що T>t.
Резерв нетто-премій в момент t позначається символом tV і визначається як умовне математичне сподівання величини t L при T>t.
Поліси страхування життя зазвичай розробляються таким чином, щоб резерв неттопремій був додатнім, або, у крайньому випадку, невід’ємним, бо у застрахованого у будь-який момент повинен зберігатися інтерес до продовження страхування. Таким чином, очікувана вартість майбутніх страхових допомог має завжди перевищувати очікувану вартість майбутніх премій. Для компенсації цих витрат страхувальник повинен резервувати достатній фонд, щоб покрити різницю між цими величинами, тобто резерв нетто-премій tV .
6.2 Два приклади
Резерв нетто-премій наприкінці k-того року з моменту видачі поліса страхування на дожиття (термін n, страхова сума 1, що виплачується по закінченню п років або наприкінці року смерті, щорічні премії) позначається через kVx:n і задається виразом
kVx:n := Ax+k:n−k |
− Px:n ax+k:n−k , k = 0,1,..., n −1. |
(6.2.1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
&& |
|
|
|
Очевидно, 0Vx:n = 0 за визначенням нетто-премії.
Резерв нетто-премій наприкінці k-того року відповідного тимчасового страхування позначається через kVx1:n . Він визначається формулою
1 |
1 |
|
1 |
|
&& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
kVx:n |
:= Ax+k:n−k |
|
|
. |
(6.2.2) |
||||
−Px:n |
ax+k:n−k |
||||||||
1
Для чисельної ілюстрації припустимо, що страхова сума дорівнює 1000, початковий вік х=40, термін п=10. Таким чином, резерв нетто-премій є 1000 kV40:10 (1000 kV40:101 ) для k=0, 1, …, 9. Припустимо, що і=4% і використаємо для обчислення функцію виживання де Муавра зі значенням ω=100.
На першому кроці знайдемо щорічну нетто-премію 88.96 для дожиття і 17.225 для тимчасового страхування. Зміна резервів нетто-премій протабульована нижче. Хоча закон де Муавра і не є зовсім реалістичним, резерви нетто-премій мають характерну поведінку.
Зміна резерву нетто-премій для дожиттів та тимчасових страхувань
k |
&& |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
a40+k:10−k |
|
A40+k:10−k |
|
kV40:10 |
|
A 40+k:10−k |
|
kV 40:10 |
|
||||||
|
|
|
|
×1000 |
|
×1000 |
×1000 |
|
×1000 |
||||||
0 |
7.84805 |
698.15 |
|
0 |
|
|
135.18 |
|
0.0 |
|
|||||
1 |
7.24269 |
721.44 |
|
77 |
|
126.02 |
|
1.3 |
|
||||||
2 |
6.60433 |
745.99 |
|
158 |
|
116.08 |
|
2.3 |
|
||||||
3 |
5.93076 |
771.89 |
|
244 |
|
105.30 |
|
3.1 |
|
||||||
4 |
5.21956 |
799.25 |
|
335 |
|
93.61 |
|
3.7 |
|
||||||
5 |
4.46813 |
828.15 |
|
431 |
|
80.94 |
|
4.0 |
|
||||||
6 |
3.67365 |
858.71 |
|
532 |
|
67.22 |
|
3.9 |
|
||||||
7 |
2.83306 |
891.04 |
|
639 |
|
52.36 |
|
3.6 |
|
||||||
8 |
1.94305 |
925.27 |
|
752 |
|
36.27 |
|
2.8 |
|
||||||
9 |
1.00000 |
961.54 |
|
873 |
|
18.85 |
|
1.6 |
|
||||||
Резерв нетто-премій для дожиття постійно зростає і в кінці наближається до страхової суми. Величину резерву 872.58 в кінці 9-го року можна легко перевірити: сума даного резерву нетто-премій і останньої премії величиною 88.96, разом з відсотковим прибутком від них, має бути достатньою для покриття виплати розміром 1000 роком пізніше.
Резерв нетто-премій для тимчасового страхування дуже малий і майже сталий. Спочатку він зростає, оскільки премія трішки перевищує відповідну премію для страхування на один рік. До кінця резерв нетто-премій знову спадає, оскільки страхувальник не має зобов'язань, якщо застрахований виживає. Суми резерву неттопремій в кінці 9-го року (1.62) і останньої премії (17.23) якраз вистачить для покриття страхування на один рік 49-річного індивіда (18.85).
6.3 Рекурентні співвідношення
Повернемось до загального страхування життя, введеного в 5.5. Резерв нетто-премій в кінці k-того року є, згідно визначенню,
∞ |
∞ |
|
kV = ∑ck + j+1υ j+1 j px+k qx+k + j −∑Πk + jυ j j px+k . |
(6.3.1) |
|
j=0 |
j=0 |
|
Щоб отримати співвідношення між kV і k +hV , підставимо |
|
|
j px+k = h px+k j−h px+k +h |
|
(6.3.2) |
2
в усі, за виключенням перших h членів в (6.3.1), |
і використаємо |
j′= j −h в якості |
|
індексу сумування. В результаті отримаємо співвідношення |
|
||
h−1 |
h−1 |
|
|
kV +∑Πk + jυ j j px+k |
= ∑ck + j+1υ j+1 j px+k qx+k + j |
+ h px+kυhk +hV. |
(6.3.3) |
j=0 |
j=0 |
|
|
Це співвідношення має таке тлумачення: якщо застрахований живий на кінець k-того року, то резерву нетто-премій разом з математичним сподіванням поточної вартості премій, які повинні надійти протягом наступних h років, якраз достатньо для виплати допомог у ці роки і чистого доживання величиною k +hV в кінці року k+h.
При h=1 отримується рекурентне співвідношення для резерву нетто-премій:
kV +Πk =υ(ck +1qx+k + k +1Vpx+k ). |
(6.3.4) |
Таким чином, резерв нетто-премій може бути обчислений рекурентно двома способами:
1)можна обчислити 1V , 2V ,... послідовно, починаючи з 0V = 0;
2)якщо страхування має кінцевий термін п, то можна підрахувати n−1V , n−2V ,... в
такому порядку, починаючи з відомої величини nV .
Так, в чисельному прикладі з 6.2 маємо для дожиття 10V =1000, а для тимчасового страхування Рівняння (6.3.4) показує, що в момент k сума резерву нетто-
премій і k-ої премії дорівнює математичному сподіванню поточної вартості фондів, необхідних у кінці цього року (які повинні складати ck +1 у випадку смерті і k +1V - у
протилежному випадку). Інша інтерпретація стає очевидною, якщо записати
kV +Πk =υ( k +1V +(ck +1 −k +1 V )qx+k ). |
(6.3.5) |
Сума k +1V необхідна у будь-якому випадку. |
Якщо застрахований помирає, потрібна |
додаткова сума ck +1 −k +1V , яка називається нетто-сумою на ризик. Рівняння (6.3.5) показує, що дана премія розкладається на дві компоненти:
|
|
|
|
Πk = Πks +Πkr , |
|
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Πs |
= |
Vυ − V |
(6.3.6) |
|
||
k |
|
k +1 |
k |
|
|
|
- премія збережень, що використовується для збільшення резерву нетто-премій, |
|
|||||
|
|
|
||||
Πr k = (ck +1 − k +1V )υqx+k |
(6.3.7) |
|
||||
- премія тимчасового страхування на один рік для покриття нетто-суми на ризик, |
|
|||||
або премія ризику. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
||
Таким чином, операція в (k+1)-му році може інтерпретуватися як комбінація чистих збережень і тимчасового страхування на один рік. Передбачається, звичайно, що застрахований живий на момент k. Домножаючи (6.3.6) на (1+i) j−k і сумуючи за k від 0 до j-1, отримаємо рівність
j−1 |
|
jV = ∑(1+i) j−k Πks , |
(6.3.8) |
k =0
яка показує, що резерв нетто-премій є накопиченою вартістю премій збережень, отриманих компанією з моменту видачі поліса.
Розклад на премію збережень і премію ризику в чисельному прикладі в 6.2 протабульовано нижче.
|
|
|
Доживання |
|
Тимчасове |
|
|
|
|
|
|
страхування |
|
|
k |
|
Πks |
Πkr |
Πks |
Πkr |
|
0 |
|
74.17 |
14.79 |
1.22 |
16.00 |
|
1 |
|
75.24 |
13.71 |
0.97 |
16.26 |
|
2 |
|
76.43 |
12.53 |
0.70 |
16.53 |
|
3 |
|
77.74 |
11.22 |
0.42 |
16.81 |
|
4 |
|
79.18 |
9.78 |
0.12 |
17.10 |
|
5 |
|
80.77 |
8.18 |
-0.19 |
17.41 |
|
6 |
|
82.53 |
6.43 |
-0.52 |
17.74 |
|
7 |
|
84.47 |
4.49 |
-0.87 |
18.09 |
|
8 |
|
86.60 |
2.36 |
-1.24 |
18.46 |
|
9 |
|
88.96 |
0.00 |
-1.62 |
18.85 |
Записавши (6.3.5) у вигляді |
|
|
|
|||
|
|
Πk +d k +1 V = (k +1V −k V ) +Πrk , |
|
(6.3.9) |
||
ми побачимо, що премія плюс відсотковий прибуток, зароблений на резерві неттопремій, служать для модифікації (збільшення або зменшення) резерву нетто-премій і для фінансування премії ризику. Це рівняння є узагальненням (6.3.7). Множачи (6.3.5) на 1+i , отримуємо рівняння, подібне до (6.3.9):
Πk +i(k V +Πk ) = (k +1V −k V ) +(ck +1 − k +1V )qx+k . |
(6.3.10) |
Рівняння (6.3.9) і (6.3.10) відрізняються тим, що обчислення в (6.3.9) виконуються в момент k, а в (6.3.10) – в момент k+1.
6.4 Ризик виживання
Висновки попереднього параграфу справедливі також і при ck +1 <k +1V , тобто якщо
нетто-сума на ризик від’ємна. Але в цьому випадку можна також модифікувати й аналіз. Почнемо з зображення (6.3.4) у вигляді
4
kV +Πk = ck +1υ +(k +1V −c k +1)υpx+k . |
(6.4.1) |
Сума ck+1 необхідна у будь-якому випадку; у випадку виживання підлягає оплаті додаткова сума k+1V −ck+1. Таким чином, фінансові прибутки протягом (k+1)-го року
можна спрямувати частково на чисті збереження і частково на доживання зі страховою сумою k +1V −ck +1 . Премія Πk може розглядатися як сума модифікованої
премії збережень
ˆ s |
(6.4.2) |
Πk = ck +1υ − kV |
|
і премії ризику виживання |
|
ˆ r |
(6.4.3) |
Πk =(k +1V −c k +1)υpx+k . |
Звернемо увагу, що компонента збережень часто буває від'ємною. Рівнянню (6.4.1) можна надати наступного вигляду:
ˆ r |
(6.4.4) |
Πk +dck+1 =(ck +1 −kV ) +Πk , |
який нагадує формулу (6.3.9).
6.5 Резерв нетто-премій довічного страхування
Розглянемо довічне страхування, введене у (5.3.1). Його резерв нетто-премій в кінці k-того року позначається символом kVx і є за визначенням
kVx := Ax+k −Pxa&&x+k .
Виведемо деякі еквівалентні формули. Замінивши
kVx =1−(Px +d)a&&x+k .
Тепер, замінюючи Px +d на 1
a&&x , отримуємо
kVx =1− a&&&&x+k .
ax
Формулу
(6.5.1)
Ax+k на 1−da&&x+k , знаходимо
(6.5.2)
(6.5.3)
V |
= |
Ax+k − Ax |
(6.5.4) |
|
|||
k x |
|
1− Ax |
|
|
|
|
5
можна отримати, якщо замінити a&&x Px+k a&&x+k = Ax+k разом з (6.5.1) дає
|
|
|
|
Px |
|
|
||
kVx = 1 |
− |
Ax+k |
, |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
Px+k |
|
|||
kVx := (Px+k −Px )ax+k . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
&& |
|
|
Нарешті, замінимо a&&x+k |
на 1/(Px+k + |
|||||||
V |
= |
Px+k |
− Px |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
k x |
|
P |
+k |
+d . |
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
||
на (1−Ax ) / d і a&&x+k на (1− Ax+k ) / d . Рівність
(6.5.5)
(6.5.6)
d) , щоб знайти
(6.5.7)
Крім (6.5.1) важливими є формули (6.5.2), (6.5.5) і (6.5.6), оскільки вони легко інтерпретуються і їх можна узагальнити на інші типи страхувань.
Формула (6.5.2) відображає той факт, що резерв нетто-премій дорівнює страховій сумі за виключенням очікуваної поточної вартості майбутніх премій і невикористаного відсоткового прибутку. Це нагадує тотожність Ax =1−da&&x , яка має
аналогічну інтерпретацію.
Рівняння (6.5.5) можна інтерпретувати так, що майбутні премії величиною Px можуть використовуватись для довічного страхування з номіналом 1−(Px / Px+k ) .
Якби довічне страхування було куплене у віці x+k, то щорічна нетто-премія була б рівною Px+k . Формула різниці премій (6.5.6) показує, що резерв нетто-премій – це
очікувана поточна вартість дефіциту премій.
6.6 Резерви нетто-премiй при дробових термінах
Повернемося до загального страхування, що обговорювалося у 6.3. Припустимо, що застрахований живий в момент k+u (k – ціле, 0<u<1), і позначимо резерв неттопремій через k +uV . Подібно (6.3.5), цей резерв нетто-премій можна виразити у вигляді
V = |
|
Vυ1−u +(c |
k +1 |
− |
V )υ1−u |
1−u |
q |
x+k +u . |
(6.6.1) |
||
k +u |
k +1 |
|
k +1 |
|
|||||||
Із припущення (а) в 2.6 випливає |
|
|
|
|
|
|
|||||
1−u qx+k +u = |
(1−u)qx+k |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(6.6.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1−uqx+k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що дозволяє безпосередньо обчислити k +uV . |
Можна також виразити k +uV через kV . |
||||||||||
Для цього підставимо (6.6.2) в (6.6.1) і скористаємось (6.3.7) і (6.3.6). В результаті отримаємо
6
k +uV = ( kV +Πks )(1 |
+i)u + |
|
|
1−u |
Πkr (1+i)u . |
(6.6.3) |
1 |
|
|||||
|
|
−uqx+k |
|
|||
В 6.3 ми знайшли розклад для операції в (k+1)-му році; рівняння (6.6.3) дає відповідний розклад при дробовому терміні: перший член є баланс уявного накопичувального рахунку в момент k+u, а другий член є частина премії ризику, яка ще не “зароблена” в момент k+u.
Третьою можливою формулою є
|
|
|
1−u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
1−u |
|
1−u |
|
|
k +uV = |
|
|
|
( kV +Πk )(1+i) |
|
+ 1 |
− |
|
|
|
k +1Vυ |
|
. |
(6.6.4) |
||
1 |
−uqx+k |
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−uqx+k |
|
|
|
||||||
Вона показує, що |
k +uV є |
зважене |
середнє |
накопиченої |
вартості ( kV +Πk ) і |
|||||||||||
дисконтованої вартості k +1V ; |
при цьому ваги ті ж, що були в (4.8.5) при k=0. Для |
|||||||||||||||
доведення (6.6.4) замінимо Πk на Πks |
+Πkr ; тоді визначення (6.3.6)показує, що (6.6.4) |
|||||||||||||||
еквівалентне (6.6.3). В практичних застосуваннях часто апроксимація, що основана на лінійній інтерполяції:
k +uV ≈ (1−u)( kV +Πk ) +u k +1V.
Щоб побачити, наскільки гарна дана апроксимація, замінимо Πk (k V +Πks )(1+i) . Тоді ця апроксимація набуде вигляду
k +uV ≈ ( kV +Πks )(1+ui) +(1−u)Πrk ,
який допускає пряме порівняння з (6.6.3).
використовується
(6.6.5)
на Πs +Πr і + V на
k k k 1
(6.6.6)
6.7 Розподіл загальних втрат за роками поліса
Для k=0, 1, … визначимо Λk як втрату, яку поніс страхувальник протягом (k+1)-го
року; таким чином, початок цього року береться за точку відліку на шкалі часу. Можна виділити три випадки:
1)застрахований помер до моменту k,
2)застрахований помирає протягом (k+1)-го року,
3)застрахований доживає до моменту (k+1).
Таким чином, випадкова величина Λk визначається за допомогою
0, |
K ≤ k −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Λk = ck +1υ −( kV +Πk ), K = k, |
(6.7.1) |
||||
Vυ −( V |
+Π |
k |
), K ≥ k +1. |
|
|
k +1 |
k |
|
|
|
|
Замінюючи Πk сумою Πks |
+Πkr |
і використовуючи (6.3.6), знаходимо, що |
|
||
7
|
0, |
K ≤ k −1, |
|
|
Λk |
|
r |
+(ck +1 − k +1V )υ, K = k, |
(6.7.2) |
= −Πk |
|
|||
|
|
r |
, K ≥ k +1. |
|
|
−Πk |
|
||
Таким чином, якщо застрахований живий на момент k, то Λk є втратою, яку
принесло страхування на один рік, коли покривало нетто-суму на ризик. Загальні втрати страхувальника задаються рівнянням (5.5.1). Очевидний результат
∞ |
|
|
L = ∑Λkυk |
(6.7.3) |
|
k = |
0 |
|
можна перевірити безпосередньо за допомогою (6.7.1). Зрозуміло, що дана сума скінчена з сумуванням від 1 до К.
Використовуючи (6.7.2) і (6.3.7), знаходимо
E(Λk | K ≥ k) = 0, |
(6.7.4) |
що знову дає
E(Λk ) = E(Λk | K ≥ k) P(K ≥ k) = 0. |
(6.7.5) |
Тоді, як (6.7.3) правильне в загальному випадку, для виконання (6.7.5) потрібно, щоб виплати кожного року компенсувались резервом нетто-премій даного року. Класична
теорема Хеттендорфа стверджує, що
Cov(Λk , Λj ) = 0, k ≠ j, |
(6.7.6) |
∞ |
|
DL = ∑υ2k D(Λk ). |
(6.7.7) |
k =0
Друга формула показує, що дисперсію загальних втрат страхувальника можна розподілити за індивідуальними роками поліса, і є прямим наслідком першої формули і (6.7.3). Перша формула не зовсім очевидна, оскільки випадкові величини Λ0 , Λ1... не є незалежними.
При доведенні (6.7.6) можна припустити, не втрачаючи загальності, що k<j. Тоді маємо
Cov(Λk ,Λ j ) = E(Λk Λj ) = E(Λk Λj |
| K ≥ j) P(K ≥ j) = |
= −Πkr E(Λj | K ≥ j) P(K ≥ j) = 0; |
(6.7.8) |
тут на заключному кроці застосовується (6.7.4). Дисперсія величини Λk може бути обчислена таким чином:
D(Λk ) = E(Λk 2 ) = E(Λ2k | K ≥k) P(K ≥k) = D(Λk | K ≥k) P(K ≥k) =
8
=(c |
− |
V )2υ2 p |
x+k |
q |
x+k |
P(K ≥ k) = (c |
− |
V )2υ2 |
k +1 |
p |
x |
q |
x+k |
. |
(6.7.9) |
|
k +1 |
|
k +1 |
|
|
k +1 |
|
k +1 |
|
|
|
|
|||||
Підставляючи (6.7.9) в (6.7.7), знаходимо, нарешті, що |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(L) = ∑υ2k +2 (ck +1 −k +1 V )2 |
k +1 px qx+k . |
|
|
|
|
|
|
|
(6.7.10) |
||||||
k =0
Тепер припустимо, що застрахований живий на момент h (h – ціле число), і розглянемо втрати, визначені в 6.1, що є різницею очікуваних поточних вартостей майбутніх страхових виплат і майбутніх премій. За аналогією з (6.7.10) маємо
∞ |
|
|
D( h L) = ∑υ2k +2 (ch+k +1 −h+k +1 V )2 |
k +1 px+h qx+h+k . |
(6.7.11) |
k =0
Щоб довести це, розглянемо гіпотетичне страхування, почате у віці x+h і фінансоване “преміями”
% |
% |
(6.7.12) |
Π0 |
= Πh + hV , Πk = Πh+k , k =1, 2,... . |
Дисперсію величини L можна легко обчислити за допомогою рівняння (6.7.10). Результати для чисельного прикладу з 6.2 зібрані у наступній таблиці.
k |
Доживання |
Тимчасове страхування |
0 |
12905 |
15114 |
1 |
9918 |
13940 |
2 |
7393 |
12864 |
3 |
5292 |
11876 |
4 |
3584 |
10970 |
5 |
2240 |
10140 |
6 |
1231 |
9379 |
7 |
535 |
8682 |
8 |
131 |
8043 |
9 |
0 |
7457 |
Сума |
43229 |
108465 |
Ми бачимо, що дисперсія величини L набагато менша для страхування на доживання (43229), ніж для тимчасового страхування (108465).
Співвідношення (6.7.10) корисне при оцінці впливу методу фінансування на дисперсію величини L при фіксованій схемі виплат. Розглянемо, наприклад, чисте доживання при c1 = c2 =... = 0 . Дисперсія L зростає разом із резервом нетто-премій. Таким чином, фінансування разовою нетто-премією приводить до більшої дисперсії, ніж фінансування щорічними нетто-преміями.
9
6.8Конверсія страхування
Зтехнічної точки зору резерв нетто-премій належить страхувальнику і може бути використаний для фінансової підтримки зміни страхового поліса в будь-який час. Класичним прикладом є конверсія страхового поліса в оплачене страхування, тобто таке страхування, при якому надалі не потрібно платити ніяких премій. Розглянемо довічне страхування, розпочате у віці х зі страховою сумою, рівною 1, що
фінансується щорічними преміями Pk. Припустимо що застрахований живий в момент k, але, через певні причини, не в змозі платити подальші премії. У такому випадку резерв нетто-премій kVx можна було б розглядати як разову нетто-премію
для пожиттєвого страхування зі страховою сумою
kVx / Ax+k =1−Px / Px+k , |
(6.8.1) |
див. (6.5.5). Такі конверсії в оплачене страхування зі зменшеною страховою сумою є досить поширеними для страхувань на доживання, для яких резерв нетто-премій значний.
Типи страхування, відомі під назвою універсального страхування життя, що стали можливим при сучасній обчислювальній техніці, пропонують страхувальнику максимальний ступінь гнучкості. Тут страхувальник може вибирати параметри страхування періодично (наприклад щорічно). Страхувальник, що має резерв премій kV у момент k, може змінити будь-які два з наступних параметрів:
1)Пk – наступну премію до сплати ,
2)сk+1 – страхову суму у випадку смерті в наступному році,
3)k +1V – передбачувану величину своїх заощаджень через рік.
Третій параметр після цього визначається за рекурентною формулою (6.3.4). Іншими словами, страхувальник визначає як премію наступного року, так і її розклад на премію заощаджень і премію ризику. Певні обмеження, звичайно, накладаються, наприклад, нова страхова сума ck +1 не повинна перевищувати попередньої страхової
суми ck більш ніж на визначений заздалегідь відсоток, що залежить, можливо, від норми інфляції.
6.9 Технічний прибуток
Розглянемо загальне страхування життя з 6.3 і припустимо, що застрахований живий в момент k. Далі припустимо, що реально зароблена відсоткова ставка протягом (k+1)-го року дорівнює i′. Тоді технічний прибуток наприкінці даного року є
|
( V +Π |
|
′ |
|
, K = k, |
|
G + |
= k |
k |
|
k +1 |
|
(6.9.1) |
k 1 |
( kV +Πk )(1+i′) −k +1 V , K ≥ k +1. |
|||||
По суті, маємо два способи розкладу цього технічного прибутку:
10