Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lecture3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.04.2015

Размер:

232.58 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекція 3 Страхування життя.

3.1 Вступ

Угода страхування життя передбачає, що страхова виплата складається з одноразового платежу або страхової суми. Час і величина цієї виплати можуть бути функціями випадкової величини Т, що була введена у лекції 2. Таким чином, час і величина страхової виплати самі можуть бути випадковими величинами.

Поточна вартість цієї виплати позначається через Z; вона обчислюється на основі фіксованої відсоткової ставки і (технічної відсоткової ставки).

Математичне сподівання Е(Z) поточної вартості страхової суми є разова нетто-премія (або чистий одноразовий внесок) даної угоди страхування.

Ця премія ніяк не може відображати ризику, який несе страхувальник. Щоб врахувати його, потрібні додаткові характеристики розподілу випадкової величини Z, наприклад, її дисперсія.

3.2 Елементарні типи страхування.

3.2.1 Тимчасове та довічне страхування.

Розглянемо довічне страхування, яке передбачає виплату суми 1 наприкінці року смерті.

В цьому випадку страхова сума фіксована, тоді як час її виплати (К+1) є випадковим. Поточна вартість страхової виплати дорівнює

Z =υK +1.

(3.2.1)

Випадкова величина Z приймає значення υ ,υ 2, υ 3, … і її розподіл отримуємо з (3.2.1) і з розподілу К:

P(Z =υk +1 ) = P(K = k) = k px qx+k

(3.2.2)

для k=0, 1, 2, …. Разова нетто премія позначається символом Ах і задається формулою

∞
Ax := E(υK +1 ) = ∑υk +1 k px qx+k .	(3.2.3)
k =0		1
		1

Дисперсію величини Z можна знайти з тотожності

D(Z ) = E(Z 2 ) − A2 .	(3.2.4)
x	(3.2.4)
Замінюючи υ на e-δ , бачимо, що
E(Z 2 ) = E(e−2δ ( K +1) ),	(3.2.5)

що є разовою нетто-премією, обчисленою при подвоєній, в порівнянні з початковою, нормі відсоткового прибутку.

Страхування, що забезпечує страхову виплату тільки при настанні смерті протягом n років, відоме як тимчасове страхування на термін n.

Наприклад, нехай сума 1 виплачується тільки у випадку смерті протягом перших n років, причому фактичним часом виплати надалі є кінець року смерті. Маємо

	K +1		, K = 0,1,..., n −1
Z = υ			, K = 0,1,..., n −1				(3.2.6)
	0, K = n, n +1, n +2...
Разова нетто-премія позначається у цьому випадку через						A1	. Вона дорівнює
						x:n

			n−1
	Ax1:		:= ∑υk +1	k px qx+k .			(3.2.7)
	Ax1:	n	:= ∑υk +1	k px qx+k .			(3.2.7)
			k =0
Зокрема, у цих позначеннях A1					= Ах. Знову другий момент Е(Z2) дорівнює разовій нетто-
				x:∞

премії при подвоєній, по відношенню до початкової, нормі відсоткового прибутку, як видно з рівності

	−2δ(K +1)		, K =0,1,...,n −1
Z 2 = e			, K =0,1,...,n −1	(3.2.8)
0,		K =n,n +1,n +2...

3.2.2 Чисті доживання

Чисте доживання тривалістю n років забезпечує виплату страхової суми, якщо тільки застрахований живий до кінця n років:

0,	K = 0,1,..., n −1,	(3.2.9)
Z =		(3.2.9)
υn , K = n, n +1, n +2...

У цьому випадку разова нетто-премія позначається символом Ax:1n і задається формулою

Ax1:n	:=υn n px .	(3.2.10)

Формула дисперсії для бернулівської випадкової величини дає

D(Z ) =υ2nn p	q	.	(3.2.11)
	x n x		(3.2.11)

3.2.3 Доживання.

Припустимо, що страхова сума виплачується в кінці року смерті при її настанні протягом перших n років, і в кінці n-ного року – в іншому випадку:

	K +1	, K = 0,1,..., n −1,
υ		, K = 0,1,..., n −1,		(3.2.12)
Z =			1, n +2...	(3.2.12)
υn , K = n, n +			1, n +2...

Разова нетто-премія для такого страхування позначається через Ax:n . Позначаючи поточні вартості для (3.2.6) і (3.2.9), відповідно, через Z1 i Z2 маємо

Z = Z1 +Z2.					(3.2.13)
Отже,
E(Z ) = Ax1:		+ Ax:	1	,	(3.2.14)
			n
	n

D(Z ) = D(Z1 ) +2Cov(Z1Z2 ) + D(Z2 ).									(3.2.15)
Добуток Z1Z2 завжди дорівнює 0, тому
Cov(Z1Z2 ) = E(Z1Z2 ) −E(Z1 )E(Z2 ) = −Ax1:						Ax:	1	.	(3.2.16)
							n
					n
Таким чином, дисперсія Z дорівнює
D(Z) = D(Z1 ) +D(Z2 ) −2Ax1:		Ax:	1	.					(3.2.17)
			n
	n

За останньою тотожністю ризик для страхового поліса на доживання, що вимірюється дисперсією, менший, ніж для тимчасового страхування однієї людини та чистого доживання іншої.

Досі задля простоти припускалося, що страхова сума дорівнює 1. Якщо ж страхова сума дорівнює С, то разова нетто-премія отримується з уже знайденої множенням на С, а дисперсія

– множенням на С2.

Розглянемо на завершення довічне відкладене на m років страхування. Поточна вартість його страхової виплати є

0, K = 0,1,..., m −1,
Z =	K +1	, K = m, m +1, m +2...	(3.2.18)
υ		, K = m, m +1, m +2...
Відповідна разова нетто-премія позначається через m\| Ax			і дорівнює


m\|	A :=	m	p υm A			,	(3.2.19)
	x		x x+m
m\| Ax = Ax − Ax1:					.		(3.2.20)
				m

Другий момент Е(Z2) знову дорівнює разовій нетто-премії при подвоєній, по відношенню до початкової, нормі процентного прибутку.

3.3 Страхування з виплатою в момент смерті

Раніше припускалося, що страхова сума виплачується наприкінці року смерті. Це припущення не відображає реальної практики страхування, але має ту перевагу, що обчислення можна проводити безпосередньо за таблицею тривалості життя.

Нехай тепер страхова сума виплачується в момент смерті, тобто в момент Т. Поточна вартість страхової суми 1, що виплачується безпосередньо в момент смерті, дорівнює

Z =υT .

(3.3.1)

Разова нетто-премія позначається в цьому випадку Ax . Використовуючи (2.2.2), знаходимо

	x = ∞∫υt	t px μx+t dt.
A			(3.3.2)
0

Практичне наближення можна отримати в припущенні (а) з 2.6. Записуючи

T = K +S = (K +1) −(1 −S)

(3.3.3)

і використовуючи незалежність К і S та рівномірний розподіл S, отримуємо

E((1+i)1−S ) = ∫1			(1+i)u du = s		=		i	,	(3.3.4)
							δ
				1
0
0
		x = E(υK +1 )E((1+i)1−S ) =			i	Ax .
	A				i				(3.3.5)
	A				δ				(3.3.5)
					δ

Таким чином, обчислення Ax зводиться до обчислення Ах.

Подібна формула може бути одержана і для тимчасових страхувань. Для страхувань

доживання множник і/δ використовується лише в компоненті, що відповідає тимчасовому страхуванню:

Ax:

= Ax:

+ Ax:

= Ax:

+ (

−1) Ax:

(3.3.6)

Нарешті, припустимо, що страхова сума виплачується в кінці m-тої частини року смерті, тобто в момент К+S(m) в позначеннях 2.4. Тоді поточна вартість страхової суми 1 є

Z =υK +S( m ) .

(3.3.7)

Для обчислення разової нетто-премії знову використовуємо припущення (а) з 2.6. Підставимо

K + S ( m) = (K +1) −(1 − S ( m) )

(3.3.8)

в (3.3.7) і використаємо припущену незалежність К і S(m) разом з рівнянням

1−S( m )	(m)			i
E((1+i)	) = s1	=			.	(3.3.9)
			i	(m)

В результаті отримаємо

(m)		K +1	1−S( m )		i
Ax	= E(υ		)E((1+i)	) =		Ax .	(3.3.10)
					i(m)

Співвідношення (3.3.5) можна перевірити, поклавши m→ в (3.3.10).

3.4 Загальні типи страхування життя

Спочатку розглянемо страхування життя зі змінною з року в рік страховою сумою і припустимо, що ця сума виплачується в кінці року смерті. Якщо сj позначає страхову суму, гарантовану на j-тий рік після видачі поліса, то

Z = c	υK +1.	(3.4.1)
	K +1	(3.4.1)

Розподіл величини Z і, зокрема, разова нетто-премія та вищі моменти легко обчислюються:

∞
E(Z h ) = ∑ckh+1υh(k +1)	k px qx+k .	(3.4.2)

k =0

Вказаний тип страхування можна описати як комбінацію відкладених страхувань життя, кожне з яких має сталу страхову суму. Тому разова нетто-премія може бути обчислена таким чином:

E(Z ) = c1 Ax +(c2 −c1 )1| Ax +(c3 −c2 )2| Ax +...

(3.4.3)

У випадку коли страховка покриває тільки n років, тобто коли сn+1=cn+2=…=0, страхування можна також зобразити у вигляді комбінації тимчасових страхувань, що починаються зараз же:

E(Z) =cn Ax1:		+(cn−1 −cn )Ax1:		+(cn−2 −cn−1 )Ax1:		+...	(3.4.4)
	n		n−1		n−2

Альтернативні подання (3.4.3) і (3.4.4) корисні для обчислення разової нетто-премії.

Якщо страхова виплата здійснюється одразу після смерті, то страхова сума може бути, в загальному випадку, деякою функцією с(t) від часу (t≥0), і тоді

Z = c(T )υT ,		(3.4.5)
а разова нетто-премія буде
E(Z ) = ∞∫c(t)υt	t px μx+t dt.	(3.4.6)
0

Фактичне обчислення разової нетто-премії можна звести до обчислення в дискретній моделі

(див. (3.4.2) з h=1). Із

∞
E(Z ) = ∑E(Z \| K = k) P(K = k) =
k =0
∞
= ∑E(c(k +S)υk +S \| K = k) P(K = k) =
k =0
∞
= ∑E(c(k +S)(1+i)1−S \| K = k)υk +1 P(K = k).	(3.4.7)

k =0

Отримуємо

∞
E(Z ) = ∑ck +1υk +1	k px qx+k ,	(3.4.8)

k =0

де

ck +1 = E(c(k + S )(1 +i)1−S | K = k ).

(3.4.9)

Щоб обчислити вираз (3.4.9), необхідно знати умовний розподіл S при К=k. Для цього придатні два наступні припущення щодо смертності в дробовому віці. Припущення (а) з 2.6 дає

k 1	∫
c +	= 1 c(k +u)(1	+i)1−u du,	(3.4.10)
	0		6
			6

у той час як припущення (б) з 2.6 дає в результаті

		1			μ		1	pu
		1		1−u	x	+k +	1	x+k
				1−u	x	+k +	2
k 1	=	∫	c(k +u)(1	+i)					du.	(3.4.11)
k 1		∫
c +					1
		0			1	− px+k

Приклад. В якості ілюстрації розглянемо випадок експоненційно зростаючої страхової суми c(t)=eτt. Це приводить формулу (3.4.10) до вигляду

ck +1	= eτk	eδ −eτ	.	(3.4.12)

		δ −τ

Звернемо увагу, що при τ=0 звідси отримуємо (3.3.5). Альтернативна формула (3.4.11) приводить до такого результату:

			μ	1 (eδ − px+k eτ )
	τk		x+k +
	τk		x+k +	2
ck +1	= e							.	(3.4.13)
ck +1	= e	(1	− px+k )(δ + μ		x+k +	1	−τ)	.	(3.4.13)
		(1	− px+k )(δ + μ			1	−τ)
						2
						2

(Якщо знаменник в (3.4.12) або в (3.4.13) нуль, то ці дроби стають рівними еδ. Це відбувається, якщо підінтегральний вираз в (3.4.10) або в (3.4.11) не залежить від u.)

3.5 Стандартні типи змінних страхувань життя

Почнемо з розгляду стандартних типів страхування життя, коли страхова сума виплачується наприкінці року смерті.

Розглянемо стандартне довічне зростаюче страхування, при якому сj=j. Поточна вартість страхової суми є

Z = (K +1)υK +1.

(3.5.1)

Разова нетто-премія позначається у цьому випадку через (ІА)х і дорівнює

∞

(IA)x := ∑(k +1)υk +1 k px qx+k .

k =0

Для відповідного тимчасового страхування на термін n років маємо

(K +1)υK +1, K = 0,1,..., n −1

Z =

0, K = n, n +1, n +2...

(3.5.2)

(3.5.3)

Його разова нетто-премія позначається через (IA)1x:n і може бути обчислена як сума перших n членів в (3.5.2). Подібно до формул (3.4.3) і (3.4.4), ми можемо записати

(IA)1x:

= Ax + 1| Ax +...+ n−1| Ax −n n| Ax ,

(3.5.4)

(IA)1x:

= nAx1:

− Ax1:

−...− A1x:1

(3.5.5)

n−1

n−2

Підкреслимо різницю між (IA)1x:n і (IA)x:n – остання дорівнює сумі попередньої і разової нетто-

премії чистого доживання на термін n років.

Страхові суми стандартного спадаючого страхування зменшуються лінійно від n до 0, отже

	K +1
Z = (n −K)υ		, K = 0,1,..., n −1
			(3.5.6)
0, K = n, n +1, n +2...

Стандартне спадаюче страхування широко використовується для гарантії повернення боргу, за умови, що основний неоплачений борг зменшується також лінійно за схемою амортизації займу. Співвідношення

n−1

(DA)1x:

= ∑(n −k)υk +1

k px qx+k ,

(3.5.7)

k =0

(DA)1x:

= Ax1:

+ Ax1:

+... + A1x:1

(3.5.8)

n−1

n−2

є очевидними.

Припустимо тепер, що страхова сума виплачується зразу ж після смерті, тобто Z має вигляд (3.4.5) з деякою функцією с(t). Для таких страхувань використаємо припущення (а) з 2.6. Якщо страхова сума зростає щорічно, то c(t)=[t+1], і

Z = (K +1)υT .

(3.5.9)

Разова нетто-премія позначається при цьому символом (I A)x . Обчислюючи математичне сподівання величини

Z = (K +1)υK +1 (1+i)1−S

(3.5.10)

і використовуючи припущену незалежність К і S, а також (3.3.4), отримаємо практичну формулу

(I		)x =	i	(IA)x .	(3.5.11)
	A
			δ

Розглянемо тепер ситуацію, коли сума, що виплачується, зростає q разів на рік, кожен раз на величину 1/q:

Z = (K +S (q) )υT .

(3.5.12)

Відповідна разова нетто-премія позначається символом (I ( q) A)x . (3.5.12) можна переписати у вигляді

Z = (K +1)υT −υT +S(q) (1+i)1−S υK +1.

(3.5.13)

При обчисленні разової нетто-премії використаємо незалежність K та S і співвідношення

(q)

1−S

(q)

(

−1

i −d

(q)

E(S

+i)

)

= (I

s )

(q)

(3.5.14)

Отже, отримаємо

(I ( q )

)

−

+ i −d ( q )

A .

= (IA

(3.5.15)

d ( q )δ

Підставляючи сюди вирази із (3.3.5) і (3.5.11), знаходимо

(I ( q )

)

(IA)

−

+ i −d ( q )

A .

(3.5.16)

d ( q )δ

У випадку неперервно зростаючої страхової суми c(t)=t її поточна вартість

Z =TυT ,

(3.5.17)

а разову нетто-премію

(

)x =

(IA)x

−

i −δ

Ax .

(3.5.18)

δ 2

можемо отримати переходом до границі при q→∞ в (3.5.16).

Формули (3.5.11), (3.5.16) і (3.5.18) можна отримати також підстановкою відповідної функції c(t) в (3.4.10). Наприклад, вибір c(t)=t приводить до

ck +1 = ∫1	(k +u)(1+i)1−u du = ks		+(				i	+ i −2δ	,
				Is )		= k	i			(3.5.19)

		1			1
0							δ	δ
							δ	δ

що дає (3.5.18). Аналогічні співвідношення мають місце і для відповідних тимчасових страхувань, наприклад,

(q)

i −d (q)

(IA)

−

d (q)δ

(3.5.20)

x:n

Розглянемо, нарешті, неперервне тимчасове страхування на термін n років з початковою страховою сумою, що дорівнює n, яка потім зменшується q разів на рік на 1/q:

	(q)		T
Z = (n +1/ q −K −S	(q)	)υ	T	, T < n,
Z = (n +1/ q −K −S		)υ		, T < n,	(3.5.21)
0, T ≥ n.

Це страхування можна подати у вигляді різниці тимчасового страхування зі сталою страховою сумою n+1/q і тимчасового страхування зі зростаючою страховою сумою. Його разова нетто-премія задається формулою

(q)

A)x:

:= n +

Ax:

−(I

A)x:

(3.5.22)

3.6 Рекурентні формули

Рекурентні формули можна використовувати для написання алгоритмів, але, крім цього, вони також мають цікаві теоретичні наслідки.

Розглянемо довічне страхування зі страховою сумою 1, що виплачується наприкінці року смерті. Маємо очевидне співвідношення

Ax =υqx +υAx+1 px.

(3.6.1)

Таким чином, значення Ах можна знайти рекурентно, починаючи з найбільшого можливого віку. Це рекурентне співвідношення можна отримати алгебраїчною підстановкою

k px = px k−1 px+1,(k >1)

(3.6.2)

в усі, крім першого, доданки суми (3.2.3). Ймовірнісне доведення можна побудувати на співвідношенні

E(υK +1 ) =υ P(K = 0) +υE(υK | K ≥1) P(K ≥1).

(3.6.3)

Тлумачення формули (3.6.1) є повчальним. Разова нетто-премія у віці х є математичним сподіванням випадкової величини, визначеної як дисконтована страхова сума у випадку смерті і як дисконтована разова нетто-премія у віці х+1 у випадку виживання.

Інше тлумачення стає очевидним якщо записати (3.6.1) у вигляді

Ax =υAx+1 +υ(1− Ax+1 )qx .

(3.6.4)

Спочатку резервується сума Ах+1 у будь-якому випадку (смерті чи виживання). У випадку

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.08.201933.25 Кб0Lecture 8.docx
#
07.08.201929.69 Кб1Lecture eleven 1992.docx
#
07.08.201933.14 Кб1Lecture nine The Decline of Detente and the Sec....docx
#
26.11.201888.58 Кб2Lecture seven(Chris Lash).doc
#
19.03.20154.07 Mб10lecture08-01.pdf
#
21.04.2015232.58 Кб4lecture3.pdf
#
21.04.2015247 Кб6lecture4.pdf
#
21.04.2015308.86 Кб5lecture6.pdf
#
21.04.2015243.06 Кб5lecture8.pdf
#
26.08.201952.22 Кб2LEGAL ANALYSIS.doc
#
22.04.2019255.25 Кб6Lekchiyi_Ykrvyinsqka mova7.docx