lecture8
.pdf
Лекція 8 Страхування життя декількох осіб
8.1Вступ
Розглянемо m осіб початкового віку x1 , x2 ,..., xm . Для простоти позначимо тривалість майбутньої життя k-гo індивіда у позначеннях лекції 2, через Tk (k = l,...,m). На основі цих m елементів визначимо деякий стан з тривалістю майбутнього життя в цьому стані Т(u). Позначимо відповідно через t pu умовну імовірність того, що стан u ще не порушений у момент t за умови, що він існував в момент 0; символи і т.д. визначаються аналогічно. Будуть розглядатися також ануїтети, визначені в термінах стану u. Наприклад, символ позначає разову нетто-премію прямого
довічного ануїтету зі щорічними виплатами величини 1, що здійснюються доти, доки зберігається стан u. Ми також проаналізуємо страхування зі страховими виплатами в
момент порушення стану u. Наприклад, символ Au позначає разову нетто-премію, якщо страхова сума величини 1 виплачується негайно після порушення стану u.
8.2 Стан спільного життя
Стан спільного життя |
|
u := x1 : x2 : ...: xm |
(8.2.1) |
визначається як існуючий доти, доки всі m осіб, що беруть участь у ньому, живі.
Часом руйнування цього стану є |
|
T (u ) := min(T1 , T2 , ..., Tm ). |
(8.2.2) |
Будемо далі припускати, що випадкові величини T1 ,T2 ,...,Tm незалежні. Тоді розподіл часу руйнування стану (8.2.1) задається формулою
t |
px :x :...:x |
:=P(T(u) >t) =P(T1 |
>t,T2 |
>t,...,Tm >t) = |
|
||||
|
1 2 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
=∏P(Tk |
>t) =∏t pxk . |
|
|
|
|
|
(8.2.3) |
||
|
k =1 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
Миттєваінтенсивність руйнування стану спільного життя є, згідно(2.2.5), |
|||||||||
|
|
|
d |
|
|
d |
m |
m |
|
|
|
μu +t = − |
ln t pu = − |
∑ln t pxk = ∑μxk +t . |
(8.2.4) |
||||
|
|
dt |
|
||||||
|
|
|
|
|
dt k =1 |
k =1 |
|
||
1
Ця рівність нагадує (7.2.2). Відзначимо, однак, що, на відміну від рівності з лекції 7, рівність (8.2.4) припускає незалежність випадкових величин T1 ,T2 ,...,Tm . Принципи лекцій 3 і 4
можна тепер застосувати для обчислення, наприклад, разової нетто-премії страхування з виплатоюпри першій смерті:
|
∞ |
|
|
Ax1:x2 :...:xm |
:= ∑υk +1 |
k px1:x2 :...:xm qx1 +k:x2 +k:...:xm +k . |
(8.2.5) |
|
k =0 |
|
|
Разованетто-преміядляпрямогоануїтетустрахуванняспільногожиттяє
a x1 :x2 :...:xm |
:= ∑∞ |
υ k |
k p x1 :x2 :...:xm . |
(8.2.6) |
|
k =0 |
|
|
|
Співвідношення, подібніотриманимвлекції4, залишаютьсясправедливими, наприклад,
1 = dax1:x2 :...:xm + Ax1:x2 :...:xm . |
(8.2.7) |
Визначенняівисновкилекцій5 і6 можнаузагальнити, заміняючи( х) на(u). Якщо позначити через n стан, що порушується вмомент п, тобто
T ( |
|
|
) := n , |
|
n |
|
(8.2.8) |
||
|
то T (x : n ):=min(T (x),n) . Очевидно, що позначення для разової нетто-премії Ax:n
(дожиття) і ax:n (тимчасове страхування) узгоджуються з таким позначенням стану спільного життя.
8.3 Спрощення
Значне спрощення відбувається, якщо смертність всіх людей у групі підкоряється одному і томуж законуГомпертца, тобто
μx |
+t = Bc xk +t , t ≥ 0, k =1,..., m. |
(8.3.1) |
k |
|
|
Розв'язавши рівняння |
|
|
|
cx1 +cx2 +...+cxm =cw |
(8.3.2) |
відносно w, можна зобразити миттєву інтенсивність руйнування стану спільного життя у вигляді
2
μu+t =μw+t , t ≥0. |
(8.3.3) |
З цього випливає, що інтенсивність руйнування стану спільного життя підкоряється тому ж самому закону смертності Гомпертца, що й індивідуальне життя з "початковим віком" w. І тоді всі обчислення, що стосуються станів спільного життя, можуть проводитися в термінах одногоіндивіда(w). Якприкладмаємо
Ax :x |
:...:x |
m |
= Aw , |
(8.3.4) |
1 2 |
|
|
|
|
ax :x :...:x = aw. |
(8.3.5) |
|||
1 2 |
m |
|
|
|
Деякі спрощення також виникають, якщо всі індивіди підкоряються одному й тому самому законусмертностіМейкхема
μxk +t = A + Bc xk +t . |
(8.3.6) |
Нехай w — розв’язок рівняння |
|
cx1 +cx2 +...+cxm =mcw. |
(8.3.7) |
Тоді з (8.2.4) випливає, що |
|
μu+t =mμw+t = μw+t:w+t:...:w+t , t ≥0 . |
(8.3.8) |
Це означає, що m осіб віку x1 , x2 ,..., xm |
можуть бути замінені m особами однакового |
||
"початкового" вікуw. Наприклад, |
|
||
ax :x |
:...:x |
= aw:w:...:w . |
(8.3.9) |
1 2 |
|
m |
|
Помітимо, що вік w, визначений у (8.3.7), є деяке середнє від x1 , x2 ,..., xm , тоді як вік w, визначенийу (8.3.2), перевищує всі x1 , x2 ,..., xm .
8.4 Стан виживання останнього
Стан виживання останнього
|
u := |
|
|
|
x1 : x2 : ...: xm |
(8.4.1) |
|||
|
зберігається доти, доки живий принаймні один з m індивідів. |
|
||
Він руйнується разом зі смертю останнього члена групи: |
|
|||
|
T(u) =max{T1,T2,...,Tm}. |
(8.4.2) |
||
3
Стан спільного життя і стан виживання останнього можна наочно уявити собі за аналогією з електричними ланцюгами: стану (8.2.1) відповідає послідовне з'єднання m провідників, тоді як стану (8.4.1) відповідає їхнє паралельне з'єднання.
Імовірності і разові нетто-премії для стану виживання останнього можна обчислити, використовуючи визначені раніше стани спільного життя. Щоб побачити це, застосуємо формулу включення-виключення з теорії імовірностей. Якщо B1 , B2 ,..., Bm позначають
деякі події, то імовірність їхнього об'єднання є
P(B1 B2 ... Bm ) =S1 −S2 +S3 −...+(−1)m−1 Sm. |
(8.4.3) |
|||
Sk позначає симетричну суму |
|
|
|
|
Sk = ∑ P(Bj1 |
∩Bj2 |
∩...∩Bjk |
), |
(8.4.4) |
1≤j1<...<jk ≤m |
|
|
|
|
у якій підсумовування проводиться за всіма Cmk підмножинами з k подій. Позначивши через Bk подію, яка полягає у тому, що k-й індивід ще живий у момент t, одержуємо з
(8.4.3):
t |
p |
|
|
=St |
−St |
+St |
−...+(−1)m−1 St |
, |
(8.4.5) |
|||
x1:x2 |
:...:xm |
|||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
m |
|
|||||
де |
|
|
|
Skt |
= |
∑t pxj |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
:xj :...:xj . |
(8.4.6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
k |
|
|
Домножаючи рівняння (8.4.5) на υ t і підсумовуючи за t, одержуємо формулу разової нетто-премії довічного ануїтету для стану виживання останнього:
a |
|
=S1a −S2a +S3a −..+(−1)m−1Sma. |
(8.4.7) |
|
x1:x2:...:xm |
||||
Тут ми ввели позначення |
|
|
||
Ska = ∑a x j :x j |
:...:x j . |
(8.4.8) |
||
1 2 |
k |
|
||
Розглянемо тепер страхову суму, рівну 1, яка виплачується в момент смерті останнього члена групи. Її разову нетто-премію можна обчислити так:
Ax1:x2:...:xm |
=1−d a |
|
=1−d(S1a −S2a +S3a −...+(−1)m−1Sma ). |
(8.4.9) |
||||
x1:x2:...:xm |
||||||||
Визначимо симетричні суми |
|
|
|
|
|
|||
|
S kA = ∑ Ax j |
:x j |
:...:x j |
. |
(8.4.10) |
|
||
1 |
2 |
|
k |
|
|
|||
4
Підставляючи
S ka = |
C |
k |
− S |
A |
|
|
m |
|
k |
|
|
|
|
d |
(8.4.11) |
||
|
|
|
|||
у (8.4.9), одержуємо формулу
A |
|
|
=S A −S A +S A −...+(−1)m−1 S A. |
(8.4.12) |
|||
x1:x2 |
:..:xm |
||||||
|
1 |
2 3 |
m |
||||
Схожі формули можна вивести і для разової нетто-премії дробових, неперервних ануїтетів, або страхуваньзвиплатоюстраховоїсумибезпосередньоприостаннійсмерті.
Приклад. Як ілюстрацію розглянемо випадок трьох людей з початковим віком x, у и z. У цьому випадку маємо, наприклад,
a |
|
= S a − S a + S a , |
(8.4.13) |
|||
x: y : z |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
|||
де
S1a = ax + a y + az ,
S2a = ax:y +ax:z +ay:z ,
S3a = ax:y:z .
Разові нетто-премії ax:y , ax:z , ay:z , а також ax:y:z
(8.2.3) і(8.2.5).
(8.4.14)
можна обчислити, використовуючи рівняння
8.5 |
Загальний симетричний стан |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначимо стан |
|
|
|
|
|
|
|
u := |
|
|
|
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
x :x |
2 |
:...:x |
m |
(8.5.1) |
|||
1 |
|
|
|||||
як такий, що триває доти, доки живі принаймні k з початкових m індивідів, тобто він припиняється при (m-k+1)-ій смерті.
Стан спільного життя (k = m) і стан виживання останнього (k = 1) є окремими випадками даного стану.
5
Стан
u := |
|
|
|
[ k ] |
|
||
x |
:x |
2 |
:..:x |
m |
|
(8.5.2) |
|
1 |
|
|
|||||
за визначенням вважається непорушеним, якщо живі в точності k з m індивідів.
Такий стан починається в момент (m-k)-ої смерті і припиняється в момент (m-k+1)-ої смерті. Його властивості випливають з формули Шуетта-Несбіта, яка буде доведена незабаром. Для довільно обраних коефіцієнтів c0 ,c1 ,..., cm маємо
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
∑ck |
t p |
|
|
[ k ] |
|
|
|
= ∑ |
j c0 S tj |
(8.5.3) |
|||||||||
|
|
|
x :x |
:...:x |
||||||||||||||||||
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
m |
|
|
j =0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
і, аналогічно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
∑ck a |
|
|
|
[k ] |
|
= ∑ |
j c0 S aj , |
|
|||||||||||
|
|
|
x |
:x |
|
:...:x |
(8.5.4) |
|||||||||||||||
|
|
|
k =0 |
1 |
2 |
|
|
m |
|
|
j =0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де |
c =c |
−c , |
jc =Δ( j−1c ). |
|
|
|||||||||||||||||
|
k |
k+1 |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|||
Тут величини |
S tj і S aj |
визначаються за допомогою (8.4.6) і (8.4.8) для j=1, 2, …, т; ми |
||||||||||||||||||||
припускаємотакож S0t |
:=1 і S0a |
:= a |
|
|
. Длядовільнообранихкоефіцієнтівd1 , d2, . . . , dm маємо |
|||||||||||||||||
∞ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
∑dk t |
p |
|
|
k |
= ∑ |
j −1d1 S tj |
(8.5.5) |
||||||||||||
|
|
|
x :x |
:...:x |
||||||||||||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
m |
|
|
j =1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
і, аналогічно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
∑dk a |
|
k |
= |
∑ |
j −1d1S aj . |
|
|||||||||||||
|
|
|
x :x |
:...:x |
(8.5.6) |
|||||||||||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
1 2 |
|
|
m |
|
|
j =1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Останні дві формули випливають із двох попередніх: при |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
c0 |
= 0, c k |
= d 1 |
|
+ ... |
|
|
+ d k |
|
(8.5.7) |
|||||||||||
ліві частини формул (8.5.5) і (8.5.6) приймають вигляд (8.5.3) і (8.5.4) відповідно.
Вирази (8.5.5) і (8.5.6) мають ту перевагу, що вони можуть бути узагальнені на страхування життя:
m |
|
|
|
m |
|
∑dk A |
|
|
k |
= ∑ j −1d1S jA . |
|
x |
:x |
:...:x |
(8.5.8) |
||
k =1 |
1 |
2 |
m |
j =1 |
|
|
|
|
|
||
Церівняннявипливаєз(8.5.6) такякі(8.4.12) з(8.4.7). |
6 |
||||
Приклад. Як ілюстрацію розглянемо неперервний ануїтет, який виплачується чотирьом особам початкового віку w, х, у, z. Ставка страхової виплати починається з 8 і знижується вдвічізкожноюсмертю. Разованетто-преміятакогоануїтетудорівнює
|
|
8a |
|
[4] |
+4a |
|
|
[3] |
+2a |
|
[2] |
+a |
|
[1]. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
w:x:y:z |
|
w:x:y:z |
w:x:y:z |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
w:x:y:z |
||||||||||||
Такимчином, маємокоефіцієнти |
с0 = 0, с1 = 1, с2 = 2, с3 = 4, с4 = 8. |
|||||||||||||||||||
Таблицярізницьмаєтакийвигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
k |
|
|
ck |
|
ck |
|
2ck |
|
3ck |
|
|
|
4ck |
|
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, разова нетто-премія цього ануїтету є S1a + S3a , де |
|
|||||||||||||||||||
S a |
=a |
+a +a |
+a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
w |
x |
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S3a =aw:x:y +aw:x:z +aw:y:z +ax:y:z.
(8.5.9)
(8.5.10)
Приклад. Як іншу ілюстрацію розглянемо страхування життя для трьох осіб (початкового віку х, у, z), для якого страхова сума дорівнює 2 при першій смерті, 5 — при другій і 10 — при третій, з виплатою кожної з цих сум наприкінці року. Разова нетто-премія для такого страхування є
2 Ax: y:z3 +5Ax: y:z2 +10 Ax: y:z .
Починаючи з d1=10, d2=5, d3 = 2, можна заповнити таблицю різниць:
k |
dk |
dk |
2 dk |
1 |
10 |
-5 |
2 |
2 |
5 |
-3 |
|
3 |
2 |
|
|
Отже, разова нетто-премія цього страхування дорівнює
10 S1A −5S2A +2S3A ,
де
S1A = Ax + Ay + Az , S2A = Ax:y + Ax:z + Ay:z , S3A = Ax:y:z .
(8.5.11)
(8.5.12)
7
8.6 ФормулаШуетта-Несбіта
Позначимочерез B1 , B2 ,..., Bm довільніподії. НехайN – кількістьподій, щовідбуваються; тодіN -
випадкова |
величина з множиною значень {0,1…,m}. |
Для довільно обраних коефіцієнтів |
||
c0 ,c1 ,..., cm виконуєтьсяформула |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
∑cn P(N =n) = ∑ kc0Sk , |
(8.6.1) |
|
|
|
n=0 |
k=0 |
|
|
де Sk визначаютьсятаксамо, яків(8.4.4), а S0 :=1.
Длядоведення(8.6.1) скористаємосяоператоромзсувуε, визначенимзадопомогою
ε(ck ) =ck +1. |
(8.6.2) |
Оператор зсуву і різницевий оператор пов'язані співвідношенням ε=1+ . Оскільки 1 − I B j - індикаторнафункціядоповненнядо B j , легкобачити, що
m |
|
m |
|
|
|
|
∑I{N =n}εn =∏(1−IBj + IBj ε)= |
|
|
|
|||
n=0 |
|
j=1 |
|
|
|
|
m |
|
m |
(∑IB j1 ∩B j2 ∩...∩B jk ) |
|
|
|
∏(1 |
+ IB j |
)= ∑ |
k . |
(8.6.3) |
||
j=1 |
|
k =0 |
|
|
|
|
Обчислюючиматематичнісподівання, одержуємооператорнутотожність |
||||||
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
∑P(N = n)εn = |
∑Sk |
k . |
(8.6.4) |
|
|
|
n=0 |
|
k =0 |
|
|
Застосовуючицейоператордопослідовності{сk} приk = 0, одержуємо(8.6.1). Рівняння (8.5.3) випливає з (8.6.1), коли в якості Bj береться подія T j ≥ t .
Нарешті, покажемо ще одне застосування формули (8.6.1). |
Приймаючи cn = zn в (8.6.1), |
одержуємо вираз генератриси дляN: |
|
m |
|
E( z N ) = ∑( z −1)k Sk . |
(8.6.5) |
k =0 |
|
Як ілюстрацію розглянемо таку задачу. Припустимо, що m різних листів вкладаються випадковим чином у m конвертів з адресами. Нехай Bj позначає випадкову подію, яка полягає в тому, що лист j вкладений у потрібний конверт, і нехай N — число листів із правильними адресами. З рівності
P(Bj |
∩Bj |
|
∩... ∩ Bj |
|
) = |
1 |
(8.6.6) |
|
k |
m(m −1)...(m −k +1) |
|||||
1 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
8
випливає, що Sk =1/ k! Тоді генератриса для N : |
|
||
E ( z N ) = ∑m |
( z −1) k |
. |
(8.6.7) |
|
|||
k =0 |
k ! |
|
|
При m → ∞ послідовність цих функцій збігається до |
ez−1 , що є генератрисою |
||
пуасонівського розподілу з параметром 1. Таким чином, для великих значень m розподіл величини N можна апроксимувати пуасонівським розподілом з параметром 1.
8.7Асиметричні ануїтети
Узагальному випадку складні стани менш симетричні. Наприклад, стан
|
|
|
|
|
w : x : y : z |
(8.7.1) |
|||
зберігається, якщо живий принаймні один з (w) і (х) і принаймні один з (у) і (z). Моментом руйнування даного стану є
T = min{max{T (w),T (x)}, max{T ( y),T (z)}}. |
(8.7.2) |
Для цього стану разова нетто-премія ануїтету може бути обчислена в термінах разових нетто-премій для станів спільного життя. Цевипливаєізспіввідношень
t p |
|
=t pu +t pv −t pu:v |
(8.7.3) |
u:v |
і, відповідно,
a |
|
= au + av − au:v , |
(8.7.4) |
u:v |
які справедливі для довільних станів u і v. Розглянемо, наприклад, ануїтет величиною 1, що триває, доки зберігається стан (8.7.1). Повторним застосуванням (8.7.4) одержуємо вираз для його разової нетто-премії:
aw:x:y:z =aw:x:y +aw:x:z −aw:x:y:z =aw:y +ax:y −aw:x:y + |
|
aw:z +ax:z −aw:x:z −aw:y:z −ax:y:z +aw:x:y:z. |
(8.7.5) |
При вивченні страхування вдів і страхування сиріт доречні реверсивні ануїтети. Символ ax / y позначає разову нетто-премію неперервного потоку платежів з нормою 1, що
починається в момент смерті (х) і закінчується в момент смерті ( у) . Цю разову неттопремію можнаобчислити задопомогоюспіввідношення
ax/ y =ay −ax:y . |
(8.7.6) |
9
8.8 Асиметричні страхування
Розглянемо m індивідів з 8.2 і припустимо, що тривалості їхнього майбутнього життя незалежні. Узагальнене страхування забезпечує виплату суми c j (t) при першій смерті,
якщо j помирає першим у момент t (тобто стан спільного життя руйнується через j). Таке страхування математично еквівалентне страхуванню, що обговорювалося в 7.4. За аналогією з формулою (7.4.4) разова нетто-премія цього страхування першої смерті є
m |
∞ |
|
|
|
∑ |
∫c j (t )υt |
t px1 :x2 :...:xm |
μx j +t dt. |
(8.8.1) |
j =1 |
0 |
|
|
|
До цього типу відноситься реверсивний ануїтет, розглянутий у попередньому параграфі. Визначаючи
c1(t)= |
a |
y+t, c2(t)=0 |
(8.8.2) |
|
одержуємо |
|
|
||
ax / y = ∞∫ay +tυt |
t px:y μx+t dt. |
(8.8.3) |
||
0 |
|
|
|
|
Цей вираз заздалегідь припускає незалежність T(x) і T(y), на відміну від (8.7.6). В окремому випадку, коли ck (t) =1 і c j (t) = 0 для j≠k, разова нетто-премія позначається
через
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax :...:x |
|
:x |
:x |
|
:...:x |
|
|
(8.8.4) |
||||
|
|
k −1 |
k |
k +1 |
m |
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
і може бути обчислена так |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
∫υ |
t |
t p x1 : x 2 :. . .: x m |
μ x k + t d t . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A x1 :. . .: x k −1 : x k : x k +1 :. . .: x m |
|
|
(8.8.5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Відзначимо, що позначення, введені в лекції 3 для разової нетто-премій чистого дожиття і тимчасового страхування, є окремими випадками (8.8.4); вони одержуються, якщо інтерпретувати n якстан, щоруйнуєтьсявмоментn.
Разову нетто-премію (8.8.5) дуже легко обчислити, якщо життя всіх індивідів підкоряються одномуітомужсамомузаконусмертностіГомпертца, див. (8.3.1). У цьому випадку
μxk +t = |
cxk |
μx1 +t:x2 +t:...:xm +t , |
(8.8.6) |
cw |
де w визначається за допомогою (8.3.2); отже,
10