Лекция 4

1.8. Метод наложения

Метод наложения широко используют при анализе линейных электрических цепей, когда в них имеется несколько источников питания. Этот метод основан на принципе наложения (суперпозиции) путем использования принципа независимости действия э. д. с. Согласно этому принципу, токи, проходящие в сложной цепи с несколькими э. д. с., можно представить как алгебраическую сумму токов, создаваемых каждой из э. д. с. в отдельности. Следовательно, расчет сложной цепи с несколькими э. д. с. сводится к расчету нескольких цепей, каждая из которых имеет один источник питания.

Расчет сложных цепей методом наложения осуществляют следую­щим образом: 1) поочередно находят в ветвях схемы значения токов и их направления, создаваемые каждой из э. д. с. в отдельности, мысленно исключая остальные э. д. с. из схемы, но оставляя их внутрен­ние сопротивления; 2) находят действительные токи в ветвях путем алгебраического сложения токов, создаваемых каждой из э. д. с. При­меним этот метод для расчета схемы (рис. 1.16). Вначале найдем в ветвях значения и направления токов, создаваемых э. д. с. E₁, полагая э. д. с. E₂ = 0, но учитывая ее внутреннее сопротивление г₂₀ (рис. 1.17). Тогда по закону Ома и первому закону Кирхгофа находим

(1.32)

Рис. 1.16

Затем, исключая э. д. с. E₁ и оставляя ее внутреннее сопротивление r₁₀, находим значения и направления токов, создаваемых э. д. с. E₂ (рис. 1.18):

(1.33)

Действительные токи в ветвях схемы рис. 1.16 находят как алгебраическую сумму составляющих токов, проходящих через соответствующие ветви:

(1.34)

Направление действительных токов в ветвях выбирают по большему составляющему току каждой ветви.

1.9. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до у-1, где у – число узлов схемы. Метод основан на первом законе Кирхгофа и заключается в следующем:

1. один узел схемы принимаем базисным с нулевым потенциалом;

2. для остальных у – 1 узлов составляем формализованную систему уравнений, вытекающую из первого закона Кирхгофа, в которой токи ветвей выражены через потенциалы узлов;

3. решением составленной системы определяем потенциалы узлов относительно базисного, а затем токи ветвей.

Рассмотрим применение метода на примере расчета цепи по рис. 1.19.

Узел 3 принимаем базисным, т. е. φ₃ = 0. Формализованная система уравнений имеет вид:

Здесь узловая проводимость первого узла (g₁₁ = 1/r₁ + 1/r₂) равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в первом узле; узловая проводимость второго узла (g₂₂ = 1/r₂ + 1/r₃) равна сумме проводимостей второй и третьей ветвей; взаимная проводимость узлов 1 и 2 (g₁₂ = g₂₁ = - 1/r₂ ) равна проводимости ветви, включенной между этими узлами. Полные проводимости берутся со знаком плюс, взаимные проводимости – со знаком минус. В правой части каждого уравнения записывается так называемый узловой ток В данном случае это I₁₁ = - J₁ + E₁/r₁ и I₂₂ = E₃/r₃ + J₂ . Если э.д.с. источника э.д.с. или ток источника тока направлены к рассматриваемому узлу, то они берутся со знаком плюс. После решения формализованной системы уравнений получим потенциалы узлов схемы. Если известны потенциалы всех узлов, то легко определить токи ветвей.

В этих формулах принято, что ток течет от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Если э. д. с. ветви совпадает по направлению с током, то она пишется со знаком плюс, если не совпадает – со знаком минус.

Этим методом можно просто рассчитать электрическую цепь, содержащую два узла (или преобразованную в такую цепь). На рис. 1.20 представлена схема электрической цепи, в которой имеется два узла a, b и четыре ветви. В зависимости от значений и направлений э. д. с., а также сопротивлений ветвей между узлами а и b существует напряжение U_ab= U, называемое узловым. Зная узловое напряжение, можно определить токи в ветвях, находящихся между узлами а и b. Выберем условные положительные направления токов и узлового напряжения. Тогда, по второму закону Кирхгофа, для первой ветви E₁ – I₁r₁ = U, откуда

(1.35)

(1.36)

(1.37)

(1.38)

Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов в узле цепи равна нулю, т. е. I₁ + I₂ - I₃ - I₄ = 0. Подставляя значения токов из выражений (1.35) — (1.38) и проводя соответствующие преобразования, получим формулу для определения узлового напряжения

которая в общем случае имеет вид

(1.39)

Со знаком плюс в (1.39) записывают э. д. с., направленные встречно узловому напряжению U, и со «знаком минус — направленные согласно с напряжением U. Знаки в формуле (1.39) не зависят от направления токов ветвей.

При расчете электрических цепей по полученным формулам целесообразно выбирать условные положительные направления токов после определения узлового напряжения, так как в этом случае их нетрудно выбрать так, чтобы они совпадали с действительными направлениями токов.