- •2.7. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока
- •2.8. Последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов в цепи синусоидального тока
- •2.9. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений
- •2.10. Параллельное соединение приемников в цепи синусоидального тока
- •Емкость
- •Комплексное сопротивление конденсатора
- •Контрольные вопросы
2.8. Последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов в цепи синусоидального тока
Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение для мгновенных значений напряжения в цепи рис. 2.13, а имеет вид
(2.51)
Так как в данном случае общим для всех участков является ток, то целесообразно, чтобы начальная фаза тока была равна нулю, т. е.Тогда, выразив в (2.51) напряжения через ток и сопротивления участков цепи, получим
(2.52)
Известно, что напряжение на резистивном элементе совпадает по фазе с током цепи, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на угол π/2, а напряжение на емкости отстает от тока на угол π/2. Еслито итак какаИначе говоря, если в цепи преобладает индуктивное сопротивление, то напряжение опережает ток на угол(рис. 2.13, 6) и мгновенное значение напряжения цепи можно описать выражением
Еслито иИначе говоря, если в цепи преобладает емкостное сопротивление, то напряжение отстает от тока на угол φ (рис. 2.13, в) и выражение для мгновенного значения напряжения в цепи имеет видТреугольники Оаb и Оbс на векторных диаграммах напряжений (рис. 2.13, б, в) называют треугольниками напряжений.
В общем виде выражение для мгновенного значения напряжения в цепи можно записать так:С учетом этой записи уравнение (2.52) принимает вид
Полагая в этом уравнении получаем
Возведя первое и второе равенства в квадрат, а затем, сложив их, имеем откуда находим
(2.53)
Разделив левую и правую части равенства (2.53) нанайдем связь между током и напряжением, т. е.закон Ома для цепи с последовательно соединенными r, L, С:
(2.54)
где— полное сопротивление цепи сr, L, С; X = XL - Хс = ωL — 1/(ωС) - реактивное сопротивление цепи, учитывающее реакцию самоиндукции и емкости. Если каждую из сторон треугольника напряжений разделить на ток I, то получим треугольник сопротивлений. Стороны треугольника сопротивлений представляют собой отрезки, а не векторы, так как сопротивления — постоянные величины. Треугольник сопротивлений позволяет без расчета и построения векторной диаграммы определять cosφ. На рис. 2.13, г изображен треугольник сопротивлений, когда в цепи
а на рис. 2.13, е – когда
Умножая стороны треугольников напряжений (рис. 2.13, б, в) на ток, получим треугольники мощностей. На рис. 2.13, д изображен треугольник мощностей, когда в цепи а на рис. 2.13, ж — когдаИз треугольника мощностей имеемP = UrI = UIcosφ = I2r - активная мощность цепи, Вт; Q = QL-QC = ULI-UCI = I2(XL-XC) = I2X= UIsinφ — реактивная мощность цепи, вар; S = UI = I2Z = — полная мощность цепи, В • А; cosφ = r/Z = P/S - коэффициент мощности цепи; - угол сдвига фаз между током и напряжением цепи. Угол φ положителен, когда реактивное сопротивление X имеет индуктивный характер, т. е. когдаУгол φ отрицателен, когда реактивное сопротивление X имеет емкостный характер, т. е. когда XC>XL.
Следует отметить, что реактивная и полная мощности имеют ту же размерность, что и активная. Но с целью удобства для реактивной и полной мощностей выбраны свои единицы: вольт-ампер реактивный (вар) и вольт-ампер (ВА) соответственно. Часто в энергетике применяются производные единицы: киловольт-ампер реактивный (квар), киловольт-ампер (кВ • А).
Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение напряжений в комплексной форме для цепи с r, L, С имеет вид
(2.55)
Заменив в (2.55) напряжение резистивного, индуктивного и емкостного участков цепи произведениями их сопротивлений на комплекс тока, получим откудазакон Ома в комплексной форме для цепи с r, L, С запишется так:
(2.56)
где — комплекс полного сопротивления. При анализе цепей переменного тока комплексным методом весьма удобно пользоваться выражением мощности в комплексной форме. Комплекс полной мощности получают путем умножения комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока:
или (2.57)
где— комплекс тока;- сопряженный комплекс тока (); QL= XLI2 — реактивная индуктивная мощность; - реактивная емкостная мощность.
Из уравнения (2.57) видно, что вещественная часть комплекса полной мощности равна активной мощности, а мнимая — реактивным составляющим мощности. Знак(тильда) над мощностьюS означает, что речь идет о комплексе полной мощности, а не о сопряженном комплексе мощности, хотя и составленном при участии сопряженного комплекса тока