19. Потеря устойчивости пластин под действием продольной усадки

В результате продольной усадки пластины, в активной зоне вблизи шва возникают остаточные напряжения растяжения, а в остальной части пластины – сжатия. Напряжения сжатия могут вызвать потерю устойчивости, в результате пластина изогнется и перестанет быть плоской. Рассмотрим причины потери устойчивости и формулы расчета условий ее появления.

При приложении к упругой балке поперечной силы P в ней возникнет прогиб f, пропорциональный P и зависящий от размеров и условий закрепления балки. Силу, вызывающую единичный прогиб, можно назвать жесткостью балки при изгибе .

Если теперь приложить к балке продольные растягивающие силы T, то от них возникает изгибающий момент, уменьшающий прогиб. Таким образом, растяжение увеличивает жесткость балки k. Наглядным примером может служить гибкий трос, который при сильном натяжении становится достаточно жестким, чтобы выдерживать вес вагонов канатной дороги. От приложения сжимающих сил прогиб увеличивается (рис. 35), а жесткость при изгибе снижается, так как момент от сил T суммируется с моментом от поперечной силы P.

Рис.35. Изгиб балки под действием продольных и поперечных сил

При некотором значении сжимающей силы T_кр жесткость балки при изгибе снижается до нуля, то есть балка изгибается под действием продольных сил без приложения поперечной силы. Это явление называется потерей устойчивости, а сила T_кр – критической силой или силой Эйлера , гдеI - момент инерции сечения, а ℓ – длина полуволны изогнувшейся после потери устойчивости оси балки. Для балки с прямоугольным поперечным сечением критическое напряжение от продольных сжимающих сил , гдеh – высота сечения балки. Степень влияния продольной растягивающей или сжимающей силы на жесткость при изгибе зависит от отношения приложенной силы к критической T/T_кр.

Поперечное сечение балки при изгибе искажается и теряет прямоугольную форму вследствие поперечной деформации. Сжатая часть сечения становится шире, чем растянутая, а боковые стороны сечения наклоняются (рис. 36,а). Изгиб широкой пластины отличается от изгиба балки тем, что форма сечения искажается только у краев пластины, а в средней части продольные сечения остаются вертикальными (рис. 36,б). При этом в отличие от балки, в пластине возникают поперечные растягивающие и сжимающие напряжения.

Рис.36. Поперечные сечения балки (а) и пластины (б) при изгибе (стрелками показаны напряжения, обеспечивающие сохранение формы сечения пластины)

Это несколько повышает жесткость при изгибе и критическое продольное напряжение , гдеs – толщина пластины. Условия закрепления и приложения сжимающих сил влияют на длину полуволны изгиба ℓ, а также могут привести к сложному изгибу в двух направлениях. Общая формула для критических напряжений в закрепленной пластине

, (47)

где d – один из размеров пластины. Как правило, d – меньший из двух размеров пластины, так как он обычно сильнее влияет на ее жесткость. Влияние второго из размеров, а также условий закрепления пластины и приложения сжимающей нагрузки отражает безразмерный коэффициент c. Если один из размеров существенно превышает длину полуволны ℓ изгиба пластины после потери устойчивости, то его дальнейшее увеличение практически не влияет на жесткость пластины и критическое напряжение.

Для расчета на устойчивость необходимо определить действующие в пластине напряжения и сопоставить их с критическими. Иногда потеря устойчивости происходит не после сварки, а при работе сварной конструкции. В этом случае при расчете напряжений следует, кроме сварочных остаточных напряжений, учесть напряжения от рабочих нагрузок. Рассмотрим несколько примеров потери устойчивости.

1. При изготовлении сварных профилей (тавров, двутавров и т.д.) возникают усадочные силы от продольных (поясных) швов. Значения этих сил можно найти по формулам (9, 10, 13) и затем по формуле (12) определить напряжение в любой точке пассивной части сечения. Максимальное сжимающее напряжение в каждой из пластин, из которых состоит сечение, нужно сопоставить с критическим напряжением для этой пластины.

Стенка двутаврового профиля приварена к полкам, поэтому она представляет собой пластину с закрепленными краями (рис. 37,а). Для такой пластины в формуле (47) в качестве размера d следует подставлять ее ширину d = H (см. рис. 37). Если жесткость полок достаточна, чтобы предотвратить поворот краев стенки вокруг продольной оси (заделка), а длина профиля в несколько раз превышает Н, то середина стенки после потери устойчивости изгибается по синусоиде с длиной полуволны ℓ ≈ 0,66·H. При этом в формуле (47) c ≈ 7. Если же полки не препятствуют повороту (шарнирная опора), то ℓ ≈ H, а c ≈ 4. На практике имеет место нечто среднее между этими двумя случаями, тогда 0,66H < ℓ < H; 4 < c < 7. При расчете приходится выбирать расчетную схему, исходя из соотношения размеров стенки и полки. Обычно полки двутавра толще, чем стенки, что дает основания считать закрепление близким к заделке. С другой стороны, для консервативной оценки (с запасом) нужно принимать наименьшее из возможных значений коэффициента.

Рис.37. Схема расчета на устойчивость элементов сечения двутавра и тавра

Стенка таврового профиля, а также половина полки тавра или двутавра представляет собой пластину, один край которой закреплен, а другой свободен и может изгибаться (рис. 37,б). Для такой пластины в формуле (47) в качестве размера d следует подставлять ширину стенки d = h или половину ширины полки d = B/2 (см. рис. 37). Для длинного профиля при отсутствии поворота закрепленного края ℓ ≈ 1,64 d, а c ≈ 1,3. При шарнирном закреплении образуется одна полуволна, длина ℓ которой равна длине профиля, а c ≈ 0,43. Эти цифры показывают, насколько сильно закрепления краев пластины влияют на ее жесткость и устойчивость.

При промежуточных схемах закрепления 0,43 < c < 1,3.

2) При приварке плоского днища к цилиндрическому сосуду в результате продольной усадки на контуре круглой пластины (днища) действуют радиальные сжимающие остаточные напряжения σ_rr (см. рис. 33). Их можно вычислить, если известна усадочная сила в круговом шве:. Для этого случая в формуле (47) в качестве размераd следует подставлять радиус шва d = r_ш, а c ≈ 1,5, если контур пластины закреплен жестко (например, днище приварено к жесткому фланцу), и c ≈ 0,43, если закрепление шарнирное. При промежуточных схемах закрепления 0,43 < c < 1,5.

20. Перемещения листовых конструкций после потери устойчивости

После потери устойчивости начинаются значительные перемещения, изменяющие форму и размеры конструкции, и расчет этих перемещений является весьма сложной задачей. Сравнительно простое решение этой задачи возможно в том случае, когда только один из элементов сечения (наиболее гибкий) теряет устойчивость.

При расчете принимаются следующие допущения.

1. До потери устойчивости все элементы сечения работают упруго.

2. Потеря устойчивости в одном из элементов происходит, когда действующие в нем напряжения достигают критического уровня , который может быть найден по формуле (47). Одновременно необходимо определить длину полуволны изгибаℓ.

Например, если профиль таврового сечения длиной L (рис. 38) состоит из двух элементов (полки и стенки), поперечные сечения которых A₁ и A₂, и элемент A₁ теряет устойчивость, то сжимающее напряжение в нем равно , а длина полуволны изгибаℓ ≈ 1,64· d. Если потеря устойчивости произошла под действием продольной сжимающей силы P (изгиб отсутствует), то напряжение во всем поперечном сечении одинаковое. Можно вычислить критическую силу: и ее часть, приходящуюся на элементA₁: .

Рис. 38. Перемещения w₁ стенки таврового профиля после потери устойчивости под действием продольных сжимающих сил P

3) После потери устойчивости элемента A₁, элемент A₂ остается прямым (его прогиб ) и при дальнейшем росте сжимающей силыP деформируется упруго, по закону Гука. Сокращение длины всего профиля равно сокращению элемента A₂: ,где - часть силы P, приходящаяся на элемент A₂.

4) Часть сжимающей силы P, воспринимаемая элементом A₁ после потери устойчивости, остается постоянной . Элемент A₁ перестает сокращаться в длину, только изгибается . При дальнейшем сжатии увеличивается прогиб этого элемента w₁. Суммарная сила, воспринимаемая профилем, растет только за счет роста P₂.

Характер изменения сил, воспринимаемых элементами сечения, и прогибов этих элементов показан на рис. 39. На рис. 38 показан вид таврового профиля после потери устойчивости стенки. Чем больше разница укорочения стенки и полки, тем больше перемещения стенки .

Рис. 39. Характер изменения сил и прогиба элементов сечения (сплошными линиями показаны реальные зависимости, пунктиром - согласно сделанным допущениям)

Для того чтобы найти максимальное перемещение w_1max (прогиб), нужно задать уравнение линии изгиба. На рис. 38 видно, что эта линия близка к синусоиде . Соотношение длины полуволны синусоиды к длине хорды, соединяющей ее концы, может быть найдено интегрированием:, откуда получаем

. (48)