Составление таблицы истинности

Чтобы проверить сложное суждение с помощью таблицы истинности, необходимо грамотно её составить.

Например, нужно проверить суждение: «Если пойдёт дождь, то дорога будет мокрая».

1. Определим все простые суждения, составляющие данное сложное высказывание и узнаем количество переменных n:

а– пойдёт дождь;b– дорога будет мокрая

Получилось две переменных (а, b), соединённых союзом «если, то»

2. Количество строк (k) в таблице определяется по формуле:k = 2ⁿ, гдеn– количество переменных (то есть количество простых суждений, составляющих сложное).

В данном примере k = 2² = 4 Значит будет четыре строчки в таблице.

3. Количество столбцов в таблице будет зависеть от количества операций (логических связок) в сложном суждении.

Сначала в первых столбцах распределяются все возможные значения истины и лжи для переменных.

а	b

В данном примере две переменные, следовательно, четыре строки.

а	b
	и
	л
	и
	л

В самом правом столбце (b) чередуют «и» и «л» по одному, начиная всегда с «истины»

Во втором справа столбце (а) чередуют подряд два значения «и» и два значения «л», начиная всегда с «истины».

а	b
и	и
и	л
л	и
л	л

Затем направо выписывают логические формы всех сложных суждений, входящих в рассматриваемое суждение. В данном примере указана одна логическая связка «если, то» – импликация.

а	b	a → b
и	и
и	л
л	и
л	л

Осталось определить значения истинности для импликации. Сложное суждение, соединённое импликацией, ложно только в одном случае: если основание (первое суждение) истинно, а следствие (второе суждение) ложно.

а	b	a → b
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

1. Дождь пошёл, дорога мокрая. а– истина;b– истина. Следовательно, если а, тоb(a → b)– истина

2. Дождь пошёл, но дорога не стала мокрая. а– истина;b– ложь. Следовательно, если а, тоb(a → b)– ложно. Невозможно, чтобы причина была, а следствие не наступило.

3. Дождь не пошёл, но дорога мокрая а– ложь;b– истина. Следовательно,a → b – истина. Дорога может быть мокрой и по другой причине.

4. Дождь не пошёл и дорога не намокла. а– ложь;b– ложь. Следовательно,a → b – истина.

Если сложное суждение составлено из трёх простых, то есть состоит из трёх переменных (а,b,c), то таблица истинности, включающая все возможные комбинации истинности или ложности её переменных, будет состоять из 2³ = 8 строк.

Алгоритм распределения значений «и» и «л» для трёх переменных таков:

а	b	с		Начинаем распределять значения с крайнего правого столбца (с) и распределяем значения «и» и «л» попеременно, начиная с «истины». Затем распределяем значения во втором столбце справа (b), распределяем значения «и» и «л», чередуя подряд по два значения «и», затем по два значения «л»; затем опять два значения «и» и два значения «л». В крайнем левом столбце (а) чередуем «и» и «л», чередуя подряд сначала четыре значения «и» и затем четыре значения «л»
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л	л

Упражнения:

1. Запишите высказывание в виде логической формы, используя логические связки: «Если ты сможешь доказать мне свои добрые намерения, то я поверю тебе или же мне придётся вызвать полицию и обвинить тебя в лжесвидетельстве» (Г. Каттнер. Источник миров).

Выпишем все простые суждения, входящие в состав сложного высказывания:

а–ты сможешь доказать мне свои добрые намерения

b–я поверю тебе

с–мне придётся вызвать полицию

d–(мне придётся) обвинить тебя в лжесвидетельствовании.

Определим связки между элементами: если а, то b или с и d

(a → b) ˅ (c ˄ d)