Таблицы истинности
Значение истинности сложных суждений определяется с помощью таблиц истинности, где буквы a, b, c – переменные, обозначающие простые суждения; буква «и» обозначает истину, а «л» - ложь.
|
а |
b |
а ˄ b |
а ˅ b |
а
b |
a → b |
a ↔ b |
~а |
~b |
|
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
|
и |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
|
л |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
|
л |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
Также возможно обозначать истину нулём «0», а ложь единицей «1».
|
а |
b |
а ˄ b |
а ˅ b |
а
b |
a → b |
a ↔ b |
~а |
~b |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1.КОНЪЮНКЦИЯ а ˄ b или а & b
Конъюнкция будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и bоба истинны.
2.ДизъюнкциЯа ˅ b
Сложное суждение истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих его простых суждений, и ложно, если оба простых суждения ложны.
3.Строгаядизъюнкция
Сложное суждение истинно, если истинно лишь одно из составляющих его простых суждений, так как элементы сложной дизъюнкции исключают друг друга.
4.Импликация a → b
Сложное суждение, соединённое импликацией, ложно только в одном случае: если основание (первое суждение) истинно, а следствие (второе суждение) ложно.
5.ЭКВИВАЛЕНЦИЯ a ↔ b или a ≡ b
Сложное суждение, соединённое эквиваленцией, истинно только в тех случаях, когда составляющие его простыtсуждения, либо оба истинны, либо оба ложны.
6.ОТРИЦАНИЕ~а или¬а или~b ;¬b ;
Если аистинно, то его отрицание ложно. Еслиаложно, тоне-а(~а) – истинно.
Если bистинно, то его отрицание ложно. Еслиbложно, тоне-b(~b) – истинно.
Если отрицание стоит внутри суждения перед связкой «есть», то мы имеем дело с простым отрицательным суждением типа «Черепахи не летают». Если же отрицание присоединяется к суждению снаружи – «Неверно, что черепахи летают», то мы имеем дело с логической связкой, преобразующей простое суждение в сложное.
Если знак отрицания стоит непосредственно перед аилиb, то есть~а; ~b, то отрицание применяется только к одному суждению.
Если знак отрицания стоит перед скобкой ~(a → b), то отрицанию будет подвержена операция, указанная в скобках. В данном примере, ̶ это отрицание импликации. Сначала выполняется импликация, затем результат подвергается отрицанию.
Выполнима та формула, которая может принимать по крайней мере одно значение «истина».
Тождественно-истинная формула та, которая при любых комбинациях значений для входящих в неё переменных принимают значение «истина» (иначе она называется законом логики).
Тождественно-ложная формулата, которая принимает только значение «ложь» (иначе ‒ противоречие).
!!! Следует помнить, что логику интересует не содержание, а исключительно форма мысли!
Устанавливать истинность сложных суждений в логике, опираясь на здравый смысл или жизненный опыт, или обращение к действительности, ̶ неправильно!
Формально-логические связки не в состоянии учитывать многих смысловых оттенков естественного языка. Значения истинности некоторых сложных суждений достаточно близки к здравому смыслу, но другие могут показаться странными. Поэтому то, то с точки зрения содержания может выглядеть непривычно, с точки зрения формы будет являться правильным.