- •2.2. Производные и дифференциалы. Понятие производной. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •Правила и формулы нахождения производных. Производная сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Понятие дифференциала и его геометрический смысл.
- •Задания для самостоятельной работы.
2.2. Производные и дифференциалы. Понятие производной. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Непрерывность дифференцируемой функции.
Пусть на некотором промежутке определена функция. Возьмем любую точку. Зададим аргументупроизвольное приращениетакое, что точкатакже будет принадлежать. Функция получит приращение.
Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует), т.е..
Если для некоторого значения выполняется условиеили, т.е. пределы равны бесконечности, то говорят, что в точкефункция имеетбесконечную производную.
Если функция имеет конечную производную в каждой точке , то производнуюможно рассматривать как функцию, также определенную на. Нахождение производной функции называетсядифференцированием функции. Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называетсядифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка , называетсядифференцируемой на этом промежутке.
Задача о касательной. Пусть на плоскости дана непрерывная функцияи необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке.
Уравнение прямой по точке , принадлежащей этой прямой, и угловому коэффициенту имеет вид:, где, ( угол наклона прямой).
Из (рис. 1) найдем тангенс угла наклона секущей:.
Рис. 1.
Если точку приближать к точке, то уголбудет стремиться к углу, т.е. при. Следовательно,.
Из задачи о касательной следует геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е.. Следовательно, уравнение касательной к кривойв точкепримет вид.
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярная к касательной в этой точке. Уравнение нормали к кривой в точкеимеет вид:.
Пример. Найти производную функции .
Решение: Придавая аргументу приращение, найдем соответствующее приращение функции:
.
Составим отношение: . Найдем предел этого отношения при:.
Механический смысл производной. Производная пути по времени есть скорость точкив момент, т.е..
Функция называетсядифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде, где– некоторое число, не зависящее от, а– функция аргумента, являющаяся бесконечно малой при, т.е..
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.
Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в данной точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Пример. Доказать, что функция недифференцируема в точке.
Решение: Производная функции (если она существует) равна .
При производная не существует, так как отношениет.е. не имеет предела при(ни конечного, ни бесконечного). Геометрически, это означает отсутствие касательной к кривой в точке.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.
Обратная теорема неверна, если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Так, функция непрерывна в точке, ибоно, как было доказано ранее недифференцируема в этой точке.
Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие ее дифференцируемости.
Замечание: Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке , то функция называетсягладкой на этом промежутке. Если же производная функция допускает конечное число точек разрыва, то такая функция на данном промежутке называется кусочно гладкой.
Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям: 1. непрерывна на отрезке; 2. дифференцируема на интервале; 3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е.. Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой производная функции равна нулю:.
Геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы внутри отрезка найдется точка, в которой касательная, проведенная к графику функции, параллельна оси(рис. 2). Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.
Замечание. Пусть . Тогдаи– нули функции, и между ними найдется такая точка, что. Таким образом, из теоремы Ролля следует, что между нулями дифференцируемой функции находится хотя бы один нуль производной (рис. 3).
Рис. 2. |
Рис. 3. |
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям: 1. непрерывна на отрезке; 2. дифференцируема на интервале. Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой выполняется равенство:.
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что при выполнении условий теоремы внутри отрезка найдется точка, в которой касательная, проведенная к графику функции, параллельна хорде(рис. 4). Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.
Рис. 4.
Следствие. При выполнении условий теоремы Лагранжа . Эту формулу называютформулой конечных приращений.
Производная функции может быть найдена по схеме:
Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции.
Находим приращение функции .
Составляем отношение .
Находим предел этого отношения при , т.е.(если этот предел существует).