03 Типовая работа 2

ТИПОВАЯ РАБОТА №2.

Основные понятия теории вероятностей.

Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти.

Определение. Событие (А и В), те есть событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением событий А и В и обозначается через

АВ.

Определение. Событие (А или В), то есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обозначается через

А+В.

Определение. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется

противоположным событию А и обозначается А .

Определение. Событие (А и В ), состоящее в том, что А происходит, а В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается через

А-В.

Событие, противоположное противоположному, есть исходное событие А, так что можно

говорить просто о двух противоположных событиях А и А . Противоположные события характеризуются соотношениям

А+ А = D , AA = H .

Сумма их есть достоверное событие, а произведение – невозможное событие. Определение. Два события А и В называются несовместными, если они не могут появиться совместно, то есть если

АВ = Н .

A1, A2 ,..., An образуют полную группу событий.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, то есть

Р(А) = mn ,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0 ≤ Р(А) ≤1.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р(А+ В) = Р(А) + Р(В) .

Типовая работа № 2 Страница 2

Следствие. В общем случае вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

Р(А+ В) = Р( А) + Р(В) − P( A B) .

Определение. Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило

= Р(АВ)

РА(В) Р( А) .

Теорема (умножения вероятностей). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

Р(АВ) = Р( А) РА(В) .

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2 ,..., Вn , образующих полную группу, равна сумме

произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А

Р(А) = Р(В1) РВ1 (А) + Р(В2 ) РВ2 ( А) +... + Р(Вn ) РВn (А) -

формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2 ,..., Вn , образующих полную группу событий. Поскольку заранее не

известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Условная вероятность любой гипотезы Вi (i =1,...,n) может быть вычислена по формуле

Эти формулы называются формулами Байеса, которые позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Задание: Часть 1.

1.Что называется суммой событий?

a)число появлений этих событий;

b)два события, которые никогда совместно не произойдут

c)сумма вероятностей этих событий;

d)событие, состоящее в одновременном появлении этих событий;

2.Что называется произведением событий?

a)событие, состоящее в одновременном появлении этих событий;

b)произведение числа появлений этих событий;

c)произведение вероятностей этих событий;

d)событие, состоящее в появлении одного или другого события.

3.Что называется полной группой событий?

a)группа событий, вероятности которых равны между собой;

b)группа взаимоисключающих друг друга событий;

c)группа событий, хотя бы одно из которых непременно должно осуществиться;

d)группа событий, вероятности которых равны 1.

4.Какие события называются несовместными?

a)если появление одного из них исключает появления других;

b)если их вероятности равны нулю;

c)если одно из них обязательно должно произойти, причем его наступление исключает возможность наступления другого;

d)если они не могут не произойти в данных условиях;

5.Величина вероятности события лежит в пределах

a)от 0% до 100%;

b)от –π до π (π=3,14);

c) от – ∞ до ∞;

d)от 0 до 1.

6.Заполните таблицу, проставив соответствующие определениям цифры:

7. Согласны ли Вы с высказываниями:

А) Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Нет Да Б) События А1 и А2 называются несовместными, если наступление одного исключает

наступление другого, иначе говоря, А1 и А2 не могут произойти одновременно. Нет Да

В) Событие, заключающееся в том, что происходит одновременно А и В, называется суммой (или объединением) событий А и В

Нет Да Г) Событие, заключающееся в том, что происходит А и не происходит В называется разностью событий А и В.

Нет Да Д) Событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит, по крайней

мере, одно, называется произведением (или пересечением) событий А и В. Нет Да

Е) Достоверные события – при бросании монеты выпадет туз пиковый, при бросании кубика выпало семь очков, в результате броска баскетболист принес команде полтора очка.

Нет Да Ж) Невозможные события – при бросании монеты выпадет либо герб, либо цифра, при

бросании кубика число выпавших очков меньше десяти (больше ноля) и т. п. Нет Да

8.Какие из предложенных событий являются противоположными?

a)Два попадания и ни одного попадания при двух выстрелах.

b)Выпадение двойки и выпадение тройки при бросании игрального кубика.

c)Получение оценки «5» и получение оценки «2» на экзамене

9.Какие из предложенных событий образуют полную группу событий?

a)Выигрыш по первому билету и проигрыш по второму лотерейному билету при наличии двух лотерейных билетов.

b)Два попадания, одно попадание и ни одного попадания при двух выстрелах.

c)Появление «1», «2», «3», «4» при бросании игрального кубика.

d)Получение оценки «5» и получение оценки 4 «на экзамене»

10.Опыт состоит в том, что бросают две монеты медную и серебряную. Событие А — выпал хотя бы один герб; событие В — выпала хотя бы одна решка. Какому из перечисленных событий будет равно событие А*В?

a)Не выпало ни одного герба.

b)Выпал один герб и одна решка.

c)Выпало два герба

11.Опыт состоит в том, что бросают две монеты: медную и серебряную. Событие А — выпал герб на медной монете; событие В — выпал герб на серебряной монете. Какому из предложенных событий будет равно событие А + В?

a)Выпал хотя бы один герб.

b)Не выпало ни одного герба.

c)Выпали решки на обеих монетах

d)P(A) • Р(В/А).

3.Известны вероятности событий А, В и С. Какая из вероятностей соответствует событию, состоящему в том, что выполнятся все события А, В и С?

4. Известны вероятности событий А, В и С. Какая из вероятностей соответствует событию, состоящему в том, что выполняется хотя бы одно из событий А, В и С?

Часть 3.

Пример решения задачи.

В учебном пособии по физике имеется 45 задач к первому разделу, 30 задач ко второму и 35 задач к третьему разделу дисциплины. Шансы студента правильно решить задачу из первого раздела оцениваются в 80%, из второго — в 65 %, из третьего — 85%. Студент наудачу открывает пособие, определите вероятность, что он решит случайно выбранную задачу.

Решение:

Обозначим А — событие, состоящее в том, что студент решит случайно выбранную задачу.

Это может произойти совместно с одной из следующих гипотез: H1 — задача из первого раздела;

H2 — задача из второго раздела;

H3 — задача из третьего раздела; Определим вероятности гипотез:

P(H1 ) = 11045 ≈ 0,409 ; P(H2 ) = 11030 ≈ 0,273 ; P(H3 ) = 11035 ≈ 0,318 .

Р(А/Н1) = 0,8; Р(А/Н2) = 0,65; P(A/H3) = 0,85.

Для вычисления вероятности того, что студент решит задачу, используем формулу полной вероятности.

Р(А) = Р(Н1) • Р(А/Н1) + Р(Н2) • Р(А/Н2) + Р(H3) • Р(А/Н3) = 0,409 • 0,8 + 0,273 • 0,65 + 0,318 • 0,85 =

= 0,77495.

Ответ: вероятность того, что студент решит случайно выбранную задачу, равна 0,77495.

Задача 1. Среди студентов института 30% первокурсники, 35% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4-м курсе их 20% и 15% соответственно. По данным деканата известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на 2-м — 30%, на 3-м — 35%, на 4-м — 40% отличников. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный студент - отличник?

Задача 2. На конвейер поступают детали, производимые тремя станками, при этом первый станок производит 50% всех деталей, второй — 30%, а третий — 20%. Если на конвейер попадает деталь с первого станка, то вероятность того, что она будет исправна, равна 0,98, второй станок выпускает детали с надежностью 0,95, а третий — с надежностью 0,8. Определите вероятность того, что если с конвейера сошел негодный узел, то деталь к нему изготовлена на первом станке.

Задача 3. В конкурсе на лучшую курсовую работу участвуют 20 студентов первого курса, 22 студента второго и 18 участников учатся на третьем курсе. Шансы на победу студента первого курса оцениваются в 55%, второкурсник победит с вероятностью 60%, студент третьего курса — с вероятностью 70%.Определите вероятность того, что наудачу выбранный участник конкурса победит.

Задача 4. Имеются три партии электроламп, изготовленных на разных заводах, первая содержит 200, вторая — 100, а третья — 300 лампочек. Все изделия поместили в один контейнер. Надежности работы ламп для этих заводов равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что наудачу выбранная лампа из этих данных проработает заданное время.

Задача 5. Страховая компания делит застрахованных клиентов на группы риска: 1 группа

— малый риск; 2 группа — средний; 3 группа — большой риск. Среди клиентов страховой компании 55% — первой группы; 30% — второй группы; 15% — третьей группы. Вероятность обязательной выплаты страхового вознаграждения для первой группы риска составляет 0,01; для второй группы — 0,03; для третьей — 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный клиент получит денежное вознаграждение за период страхования?

Задача 6. В экзаменационных билетах по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» 15 вопросов относятся к первому разделу, 20 вопросов — ко второму, 25 вопросов — к третьему и 15 вопросов — к четвертому разделу дисциплины. Студент выучил 12 вопросов к первому разделу, 15 вопросов ко второму 15 вопросов к третьему и 10 вопросов к четвертому разделу. Определите вероятность того, что студент наудачу вытаскивает билет, ответ на который он хорошо знает.