05 Типовая работа 4

ТИПОВАЯ РАБОТА № 4.

Генеральная и выборочная совокупности.

Параметры генеральной и выборочной совокупностей.

Статистические данные широко используются практически во всех сферах производства и управления. Чтобы управлять грамотно и эффективно, необходимо исследовать объект наблюдения и выявить его основные свойства. Обычно статистические данные очень объемны, поэтому в процессе их использования требуются такие методы, при которых по достаточно ограниченной совокупности можно получить сведения обо всем объекте в целом. Такие методы и предлагает математическая статистика.

Математическая статистика является фундаментом для создания выборочного метода, при котором выводы, сделанные на основе изучения части совокупности (случайной выборки), распространяются на всю генеральную совокупность.

или иным признаком в генеральной совокупности.

Обследовать всю генеральную совокупность и долго, и дорого, поэтому следует воспользоваться результатами выборочного исследования.

Статистическим распределением выборки называют перечень возможных значений признака xi и соответствующих ему частот или относительных частот.

которые обладают некоторым свойством.

Статистики, получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Также статистика, полученная из выборки, отличается от соответствующего параметра в генеральной совокупности, но является оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности.

Оценкой параметра называется определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Когда оценка определяется одним числом, ее называют точечной оценкой.

В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики.

•Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, то есть

x≈ xГ .

•Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки:

(a)Выборочная дисперсия, то есть D ≈ DГ (при n ≥30).

(b)Исправленная выборочная дисперсия S 2 = nn−1σ 2 (при n<30).

Для того чтобы статистики служили хорошими оценками параметров генеральной совокупности, они должны быть несмещенными, эффективными, состоятельными и достаточными. Всем указанным свойствам отвечает выборочная средняя. D – смещенная

оценка. Для устранения смещения при малых выборках вводится поправка nn−1 .

Ошибка выборочных наблюдений.

Разность между генеральными характеристиками и соответствующими выборочными статистиками называется ошибкой выборки, или ошибкой репрезентативности.

Статистические методы позволяют оценить эту разность, которая зависит как от характеристик выборки, так и от ее объема. В процессе выборочного исследования параметры генеральной совокупности определяются в виде интервала, построенного вокруг выборочной статистики.

Таким образом, мы получили интервальную оценку (оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает некоторый неизвестный параметр генеральной совокупности) генеральной средней, которая представляет собой доверительный интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности:

x − < xГ < x + , где - предельная ошибка выборки.

Для определения доверительного интервала необходимо вычислить предельную ошибку выборки , позволяющую установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью (надежностью) должен находиться параметр генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, то есть =tσx , =tσw (где σx и σw - средние квадратические ошибки средней и доли).

Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности. Например, статистической надежности в 97% соответствует доверительная вероятность γ =0,97

(часто содержится в исходных данных задачи или ее надо найти). Тогда из уравнения 2Ф0(t)= γ и находим t, так как значения вероятностей, соответствующие различным t,

содержатся в специальных таблицах. Кроме доверительной вероятности используется

также понятие уровня значимости α , который задает вероятность ошибки, то есть

α =1−γ .

Средние квадратические ошибки выборки определяются по формулам:

Оптимальный объем представительной выборки.

В процессе решения задач легко убедиться, что доверительный интервал оценки средней и оценки доли зависит от объема выборки. Чем больше выборка, тем уже будет интервал, тем точнее оценка генеральных статистик. Поэтому следует найти такой оптимальный размер выборки, который будет удовлетворять всем требованиям.

Минимальный объем выборки, при котором ее можно назвать репрезентативной, называется оптимальным объемом.

Объем выборки не должен быть меньше оптимального объема, который рассчитывается по формулам:

Задание 1.

1.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ =5, выборочная средняя х =14 и объем выборки n=25.

2.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение σ =4, выборочная средняя х =10,2 и объем выборки n=16.

3.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение σ =5, выборочная средняя х =16,8 и объем выборки n=25.

4.Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений σ =40 м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния до цели с надежностью 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений х =2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены равномерно.

5.Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы σ =40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

6.Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n=100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение σ =2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

Задание 2.

1.С помощью собственно-случайной выборки оценивается среднее время, которое затрачивают студенты на выполнение тестового задания. Каким должен быть объем повторной выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное отклонение времени выполнения теста составило 40 минут, а отклонение выборочной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 минут, с вероятностью 0,95?

2.Известно, что доля слушателей компьютерных курсов, нашедших работу, связанную с компьютером, по их завершении, составляет 60% от общего числа слушателей. Каким должен быть объем повторной выборки, чтобы можно было получить оценку генеральной доли с точностью 0,05 при доверительной вероятности 0,90?

3.Среднемесячный бюджет студентов в колледжах области оценивается по случайной повторной выборке. С вероятностью 0,95 найдите наименьший объем выборки, необходимый для такой оценки, если среднее квадратическое отклонение предполагается равным 1500 рублей, а предельная ошибка средней не должна превышать 500 рублей.

4.Для изучения размера среднемесячной заработной платы занятого населения региона производится случайная повторная выборка. Каким должен быть объем этой выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0.997 можно было утверждать, что среднемесячная заработная плата в выборке отличается от среднемесячной заработной платы работников во всем регионе по абсолютной величине не более чем на 25%, если среднемесячная заработная плата в выборке составила 220 у.е. со средним квадратическим отклонением

120у.е.?

5.Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,3, если известно среднее квадратическое отклонение σ =1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.

6.Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ =1,5.