- •3.1. Производные и дифференциалы
- •3.1.1. Производная и ее геометрический смысл
- •Определение 3.1.1
- •Определение 3.1.2
- •Геометрический смысл производной
- •Доказательство
- •3.1.2. Дифференцируемая функция
- •Определение 3.1.3
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции
- •Доказательство
- •Определение 3.1.4
- •3.1.3. Непрерывность и дифференцируемость функции
- •Теорема 3.1.1
- •Доказательство
- •Задача 3.1.1
- •Задача 3.1.1
- •Определение 3.1.5
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •Производная функции, тождественно равной постоянной
- •Производная суммы и разности функций
- •Доказательство
- •Производная произведения функций
- •Доказательство
- •Следствие
- •Доказательство
- •Производная частного
- •Доказательство
- •Теорема о производной обратной функции
- •Доказательство
- •Производная сложной функции
- •Доказательство
- •3.1.5. Производные основных элементарных функций
- •Производная степенной функции
- •Доказательство
- •Производная экспоненциальной и показательной функций
- •Доказательство
- •Производная логарифмической функции
- •Доказательство
- •Производные тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные гиперболических функций
- •Доказательство
- •Пример 3.1.2
- •Решение
- •Задача 3.1.3
- •Решение
- •3.1.6. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
- •Уравнение касательной
- •Доказательство
- •Задача 3.1.4
- •Решение
- •Задача 3.1.5
- •Решение
- •3.1.7. Дифференциал. Формула дифференциала
- •Определение 3.1.6
- •Правила дифференцирования
- •Задача 3.1.6
- •Решение
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Доказательство
- •Инвариантность формулы дифференциала
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.8. Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Доказательство
- •Задача 3.1.7
- •Решение
- •Производная функции, заданной неявно
- •Задача 3.1.8
- •Решение
- •Задача 3.1.9
- •Решение
- •3.1.10. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- •Задача 3.1.10
- •Решение
- •3.1.10. Производные высших порядков
- •Определение 3.1.7
- •Задача 3.1.11
- •Решение
- •Задача 3.1.12
- •Решение
- •Задача 3.1.13
- •Решение
- •Задача 3.1.14
- •Решение
- •Механический смысл первой и второй производной
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.11. Дифференциалы высших порядков.
- •Определение 3.1.8
- •Формула второго дифференциала
- •Доказательство
- •Задача 3.1.15
- •Решение
- •Задача 3.1.16
- •Решение
- •3.1.12. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правила Лопиталя
- •Теорема Ферма
- •Доказательство
- •Следствие
- •Теорема Ролля
- •Доказательство
- •Теорема Лагранжа.
- •Доказательство
- •Правило Лопиталя
- •Доказательство
- •Задача 3.1.17
- •Решение
- •Задача 3.1.18
- •Решение
- •Задача 3.1.19
- •Решение
- •3.1.13. Формула Тейлора и ее применение
- •Многочлен Тейлора
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.2
- •Доказательство
- •Формулы Тейлора и Маклорена
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.3
- •Доказательство
- •Определение 3.1.10
- •Формула Маклорена для основных элементарных функций
- •Задача 3.1.20
- •Решение
- •Задача 3.1.21
- •Решение
- •Применение формул Тейлора и Маклорена
- •Задача 3.1.22
- •Решение
- •Задача 3.1.23
- •Решение
- •Задача 3.1.24
- •Решение
- •3.2. Исследование функций с помощью производных
- •3.2.1. Исследование функций с помощью первой производной
- •Определение 3.2.1
- •Определение 3.2.2
- •Необходимое условие экстремума
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 3.2.3
- •Достаточное условие экстремума
- •Доказательство
- •Задача 3.2.1
- •Решение
- •Задача 3.2.2
- •Решение
- •Чтобы исследовать функцию на экстремум необходимо:
- •Задача 3.2.3
- •Решение
- •3.2.2. Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
- •Определение 3.2.4
- •Определение 3.2.5
- •Теорема 3.2.1
- •Доказательство
- •Теорема 3.2.2
- •Доказательство
- •Определение 3.2.6
- •Теорема 3.2.3
- •Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
- •Задача 3.2.4
- •Решение
- •Задача 3.2.5
- •Решение
- •3.2.3. Асимптоты графика функции.
- •Определение 3.2.7
- •Задача 3.2.6
- •Решение
- •Определение 3.2.8
- •Теорема 3.2.3
- •Доказательство
- •Задача 3.2.7
- •Решение
- •3.2.4. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции
- •Задача 3.2.8
- •Решение
- •3.2.5. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых
- •Пример 3.2.8
- •Решение
- •Пример 3.2.9
- •Решение
- •Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость
- •Пример 3.2.10
- •Решение
- •Дифференциальные характеристики плоских кривых
- •Определение 3.2.9
- •Определение 3.2.10
- •Определение 3.2.11
- •Пример 3.2.11
- •Решение
- •Пример 3.2.12
- •Решение
Производная f ′(x)= 0 при x = ±1 и производная f ′(x) не существует при x = 0 . Вычислим значения функции в этих точках: f (±1)= − 23 . f (0)= 0 . Значения функции на концах заданного промежутка равны: f (±8)=17 13 .
Следовательно, наибольшее значение функции равно 17 13 при x = ±8 , наименьшее значение функции равно − 23 при x = ±1.
3.2.5. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых
Если каждому |
значению |
вещественной переменной t D R поставлен в |
соответствие вектор |
ar(t) R3 , |
то говорят, что на множестве D задана векторная |
функция a(t) вещественной переменной t .
Задание векторной функции a(t) равносильно заданию трех числовых функций: x(t),
y(t) и z(t) – координат вектора a(t), т.е.
ar(t)= x(t)ir + y(t)j + z(t)k , или a(t)= {x(t), y(t), z(t)}.
Если вектор a(t) является радиус–вектором точки M (x, y, z), то соответствующую векторную функцию обозначают:
r = r (t)= {x(t), y(t), z(t)}.
При этом линия, которую описывает конец |
|
вектора |
r |
называется годографом |
||||||||||||||||||||
векторной функции r (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения x = x(t), y = y(t), |
|
z = z(t) |
– |
являются параметрическими уравнениями |
||||||||||||||||||||
годографа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−t |
2 |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
||||
Найти годограф вектор–функции rr(t)= |
1 |
|
, |
|
|
, 1 . |
|
|
|
|||||||||||||||
+t2 |
1 +t2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения годографа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
1 |
−t2 |
, |
y = |
|
|
2t |
|
|
|
, z =1 . |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
+ t2 |
1 |
+t2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Исключая параметр t , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(1 −t2 )2 + 4t2 |
|
|
|
|
|
(1 +t2 )2 |
|
|
|
|||||||||||||
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
=1. |
||||||||||||||
|
|
(1 +t2 )2 |
|
|
|
(1 +t2 )2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
=1 радиуса 1, лежащая в |
||
Следовательно, годографом является окружность x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =1 |
|
плоскости z =1 , из которой исключена точка M (−1, 0, 1), соответствующая t → ±∞ .
Производной вектор–функции a(t) по переменной |
t называется новая вектор– |
||
функция |
= lim a(t + |
t)− a(t) |
|
da |
, |
||
dt |
t →0 |
t |
|
если предел существует и конечен.
47
Для производной ddta справедлива формула
dar |
dx(t) |
, |
dy(t) |
, |
dz(t) |
||
dt |
= |
dt |
dt |
dt |
, |
||
|
|
|
|
если a(t)= {x(t), y(t), z(t)}.
Пример 3.2.9
Найти производную вектор–функции rr(t)= sin t i +cos2 t j +sin t cost kr.
Решение
drr(t)= cost ir − 2cost sin t rj + cos 2t kr. dt
Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость
Уравнение касательной к пространственной кривой x = x(t), y = y(t), z = z(t) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ), соответствующей значению параметра t0 имеет вид:
x − x0 = y − y0 = z − z0 . dxdt (t0 ) dydt (t0 ) dzdt (t0 )
Уравнение нормальной плоскости в этой же точке записывается в виде dxdt (t0 )(x − x0 )+ dydt (t0 )(y − y0 )+ dzdt (t0 )(z − z0 )= 0 .
Пример 3.2.10 |
|
Написать |
уравнение касательной и нормальной плоскости к кривой |
rr(t)= (t2 −1) ir |
+(t2 +1) rj +t3 kr в точке M0 (0, 2, 1). |
Решение
Данной точке соответствует значение параметра t =1.
Поскольку dxdt = dydt = 2t , dzdt = 3t2 . То уравнение касательной имеет вид:
x |
= |
y −2 |
= |
z −1 |
, |
2 |
2 |
|
|||
|
3 |
|
а уравнение нормальной плоскости запишется в виде:
2x + 2 y +3z −7 = 0 .
Дифференциальные характеристики плоских кривых
Пусть в плоскости xOy годографом вектор–функции r = r (s)= {x(s), y( )} является
x = x(s)
плоская кривая y = y(s), где s – длина дуги кривой.
Определение 3.2.9
Кривизной кривой в точке M0 называется число, равное абсолютной величине предела отношения угол поворота касательной, соответствующей дуге M0M , к длине этой дуги, если предел существует, т.е.
48
|
ϕ |
|
||
K = |
lim |
, |
||
s |
||||
|
M →M 0 |
|
где ϕ – угол поворота касательной, соответствующей дуге M0M (рис. 3.2.17) данной кривой, а s – длина этой дуги.
r
r(
)s
|
|
|
|
M0 |
M |
|||
|
|
|
|
ϕ |
||||
|
|
|
|
|
|
3.2.17. |
|
|
Число R = |
1 |
называется радиусом кривизны. |
||||||
K |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно доказать, что кривизна определяется соотношением: |
||||||||
|
|
|
d 2rr(s) |
|
, где r = r (s)= {x(s), y( )}. |
|||
|
|
K = |
|
|||||
|
|
ds2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
Формулы для вычисления кривизны плоской кривой зависят от того, как задана эта кривая.
•если кривая задана явным уравнением y = f (x), то
K = |
y′′ |
|
; |
(3.2.1) |
|
3 |
|
||||
|
(1 + y′2 ) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
• если кривая задана неявным уравнением F(x, y)= 0 , то
|
|
|
F′′2 |
F′′ |
F |
′ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
xy |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
F′′ |
F′′2 |
F′ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
xy |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
K = |
|
|
Fx′ |
Fy′ |
0 |
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(Fx′2 + Fy′2 ) |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
•если кривая задана параметрическими уравнениями
|
|
|
|
′ |
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
K = |
|
|
x |
′′ |
y |
′′ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
(x |
′2 |
+ y |
′2 |
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(3.2.2)
x = x(t)
= ( ), то
y y t
(3.2.3)
•если кривая задана в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), то
K = |
r2 |
+ 2r′2 − rr′ |
. |
(3.2.4) |
||
|
3 |
|||||
|
(r2 + r′2 ) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
49
Определение 3.2.10
Окружностью кривизны кривой в ее точке M (x, y) называется предельное положение окружности, проведенной через точку M и две другие точки P и Q этой кривой при P → M и Q → M .
При этом радиусом этой окружности будет радиус кривизны кривой в точке M , а центр окружности кривизны (центр кривизны) лежит на нормали к кривой, проведенной в точке M (x, y) в сторону вогнутости кривой.
Координаты X и Y центра кривизны определяются формулами:
X = x − |
y′(1 + y′2 ) |
, Y = y + |
1 + y′2 . |
(3.2.5) |
||
y′′ |
|
|||||
|
|
y′′ |
|
Определение 3.2.11
Эволютой кривой называется линия, которую описывает центр кривизны при движении точки по этой кривой. Уравнения (3.2.5) являются параметрическими уравнениями эволюты.
Пример 3.2.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить кривизну параболы y = x2 |
|
в точке M0 (1, 1) и найти эволюту этой кривой. |
|||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку y′ = 2x , y′(M0 )= 2 , |
y′′ |
= 2 , |
то, используя формулу (3.2.1), вычислим |
||||||||
кривизну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
= |
|
y′′ |
|
= |
2 |
= |
2 |
. |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
( 1 + 22 )3 |
|
|||||||
|
|
(1 + y′2 ) |
|
|
|
|
5 5 |
|
|||
|
|
2 |
|
Пример 3.2.12
Написать параметрические уравнения эволюты кривой y = x2 .
Решение
Поскольку y′ = 3x2 , y′′ = 6x , то, используя формулу (3.2.5), получим
X = x − |
3x2 |
(1 +9x4 ) |
= |
|
3x2 |
(1 − |
9x4 ) |
= |
x(1 |
−9x4 ) |
, |
|||||||||
|
|
6x |
|
|
|
|
6x |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Y = y + |
1 |
+ 9x4 |
|
6xy +1 + 9x4 |
= |
1 |
+15x4 |
. |
|
|
||||||||||
|
6x |
= |
|
|
|
6x |
|
|
|
|
6x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначая параметр через t , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= t −9t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 +16t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
= |
|
6t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50