- •3.1. Производные и дифференциалы
- •3.1.1. Производная и ее геометрический смысл
- •Определение 3.1.1
- •Определение 3.1.2
- •Геометрический смысл производной
- •Доказательство
- •3.1.2. Дифференцируемая функция
- •Определение 3.1.3
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции
- •Доказательство
- •Определение 3.1.4
- •3.1.3. Непрерывность и дифференцируемость функции
- •Теорема 3.1.1
- •Доказательство
- •Задача 3.1.1
- •Задача 3.1.1
- •Определение 3.1.5
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •Производная функции, тождественно равной постоянной
- •Производная суммы и разности функций
- •Доказательство
- •Производная произведения функций
- •Доказательство
- •Следствие
- •Доказательство
- •Производная частного
- •Доказательство
- •Теорема о производной обратной функции
- •Доказательство
- •Производная сложной функции
- •Доказательство
- •3.1.5. Производные основных элементарных функций
- •Производная степенной функции
- •Доказательство
- •Производная экспоненциальной и показательной функций
- •Доказательство
- •Производная логарифмической функции
- •Доказательство
- •Производные тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные гиперболических функций
- •Доказательство
- •Пример 3.1.2
- •Решение
- •Задача 3.1.3
- •Решение
- •3.1.6. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
- •Уравнение касательной
- •Доказательство
- •Задача 3.1.4
- •Решение
- •Задача 3.1.5
- •Решение
- •3.1.7. Дифференциал. Формула дифференциала
- •Определение 3.1.6
- •Правила дифференцирования
- •Задача 3.1.6
- •Решение
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Доказательство
- •Инвариантность формулы дифференциала
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.8. Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Доказательство
- •Задача 3.1.7
- •Решение
- •Производная функции, заданной неявно
- •Задача 3.1.8
- •Решение
- •Задача 3.1.9
- •Решение
- •3.1.10. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- •Задача 3.1.10
- •Решение
- •3.1.10. Производные высших порядков
- •Определение 3.1.7
- •Задача 3.1.11
- •Решение
- •Задача 3.1.12
- •Решение
- •Задача 3.1.13
- •Решение
- •Задача 3.1.14
- •Решение
- •Механический смысл первой и второй производной
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.11. Дифференциалы высших порядков.
- •Определение 3.1.8
- •Формула второго дифференциала
- •Доказательство
- •Задача 3.1.15
- •Решение
- •Задача 3.1.16
- •Решение
- •3.1.12. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правила Лопиталя
- •Теорема Ферма
- •Доказательство
- •Следствие
- •Теорема Ролля
- •Доказательство
- •Теорема Лагранжа.
- •Доказательство
- •Правило Лопиталя
- •Доказательство
- •Задача 3.1.17
- •Решение
- •Задача 3.1.18
- •Решение
- •Задача 3.1.19
- •Решение
- •3.1.13. Формула Тейлора и ее применение
- •Многочлен Тейлора
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.2
- •Доказательство
- •Формулы Тейлора и Маклорена
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.3
- •Доказательство
- •Определение 3.1.10
- •Формула Маклорена для основных элементарных функций
- •Задача 3.1.20
- •Решение
- •Задача 3.1.21
- •Решение
- •Применение формул Тейлора и Маклорена
- •Задача 3.1.22
- •Решение
- •Задача 3.1.23
- •Решение
- •Задача 3.1.24
- •Решение
- •3.2. Исследование функций с помощью производных
- •3.2.1. Исследование функций с помощью первой производной
- •Определение 3.2.1
- •Определение 3.2.2
- •Необходимое условие экстремума
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 3.2.3
- •Достаточное условие экстремума
- •Доказательство
- •Задача 3.2.1
- •Решение
- •Задача 3.2.2
- •Решение
- •Чтобы исследовать функцию на экстремум необходимо:
- •Задача 3.2.3
- •Решение
- •3.2.2. Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
- •Определение 3.2.4
- •Определение 3.2.5
- •Теорема 3.2.1
- •Доказательство
- •Теорема 3.2.2
- •Доказательство
- •Определение 3.2.6
- •Теорема 3.2.3
- •Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
- •Задача 3.2.4
- •Решение
- •Задача 3.2.5
- •Решение
- •3.2.3. Асимптоты графика функции.
- •Определение 3.2.7
- •Задача 3.2.6
- •Решение
- •Определение 3.2.8
- •Теорема 3.2.3
- •Доказательство
- •Задача 3.2.7
- •Решение
- •3.2.4. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции
- •Задача 3.2.8
- •Решение
- •3.2.5. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых
- •Пример 3.2.8
- •Решение
- •Пример 3.2.9
- •Решение
- •Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость
- •Пример 3.2.10
- •Решение
- •Дифференциальные характеристики плоских кривых
- •Определение 3.2.9
- •Определение 3.2.10
- •Определение 3.2.11
- •Пример 3.2.11
- •Решение
- •Пример 3.2.12
- •Решение
|
|
1 |
|
x |
|
1 |
|
y |
|
2x + |
1 |
|
|
|
y |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
2 y + |
|
|
|
|
dy = −2x dx − |
|
|
|
dx , или dy = − |
|
|
|
|
|
|
dx . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
y |
|
2 |
|
|
2 y + |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ
Обращаем Ваше внимание на то, что в последних двух примерах производная и дифференциал неявных функций также являются неявными функциями. В выражения для них входит функция y , вид которой неизвестен.
3.1.10. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Дифференциал является функцией двух переменных |
x и |
x . Чтобы вычислить его |
|||||||
значение в некоторой точке |
x0 , следует задать не только значение x0 , |
но и величину |
|||||||
приращения аргумента |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если f ′(x0 )≠ 0 , то дифференциал функции f (x) в точке |
x0 |
является бесконечно |
|||||||
малой того же порядка, |
что |
x и отличается от приращения функции на бесконечно |
|||||||
малую более высокого |
порядка, чем x , то |
есть |
y ≈ dy . |
Это |
используют |
в |
|||
приближенных вычислениях. |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть требуется вычислить значение функции |
в точке |
x0 + |
x |
и число |
x |
||||
достаточно мало. Тогда |
из |
формулы приращения функции |
y = f (x0 + |
x)− f (x0 ) |
можно получить соотношение
f (x0 + x)= f (x0 )+ y ≈ f (x0 )+ dy = f (x0 )+ f ′(x0 ) x ,
в котором приращение функции приближенно заменено дифференциалом.
Задача 3.1.10
Вычислить |
приближенноarctg 1,02 , |
заменяя |
|
приращение |
функции |
ее |
||||
дифференциалом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется вычислить значение функции |
y = arctg x |
в точке |
x =1,02 . |
Представим |
||||||
x = x0 + |
x так, |
чтобы значение функции в точке x0 |
легко вычислялось, а |
x |
было бы |
|||||
достаточно (с учетом точности вычислений) малым. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ясно, что в предложенной задаче удобно взять |
x0 =1 |
и |
x = 0,02 . |
Теперь |
||||||
обозначим |
y0 = f (x0 ), а значение функции в точке |
x представим в виде |
y = y0 + |
y , |
где y – приращение функции, соответствующее приращению аргумента x . |
|
||||||||||
Учитывая замечание, приращение функции |
y приближенно |
заменим |
|||||||||
дифференциалом в точке x0 |
при приращении |
аргумента |
|
x = 0,02 . |
Получим |
||||||
y0 = arctg1 = |
π |
≈ 0,7852 , |
y′ = f ′(x)= |
1 |
, |
f ′(x0 )= |
1 |
= |
1 |
. |
Поскольку |
|
|
|
|||||||||
4 |
1+x2 |
1+1 |
2 |
y ≈ dy = 12 0,02 = 0,01, то y = arctg1,02 ≈ 0,7852 + 0,01 = 0,7952 .
ЗАМЕЧАНИЕ
Следует заметить, что, поскольку приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем x , то вычисления сделаны с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,02 .
22