Задание № 2. Задача о коммивояжере. Метод ветвей и границ

Расстояния между пунктами заданы матрицей:

		1	2	3	4	5	6
С =	1	∞	3	4	5	1	6
	2	1	∞	5	1	3	2
	3	4	2	∞	3	6	1
	4	3	4	1	∞	5	7
	5	5	1	6	2	∞	3
	6	1	6	3	1	4	∞

Решение задачи о коммивояжере методом ветвей и границ начинается с приведения матрицы (вычитания из каждой строки (столбца) матрицы C минимального элемента этой строки (столбца).

Произведем приведение матрицы C по строкам:

h_ν= min(i) h_νi

		1	2	3	4	5	6	hν
С’ =	1	∞	3	4	5	1	6	1
	2	1	∞	5	1	3	2	1
	3	4	2	∞	3	6	1	1
	4	3	4	1	∞	5	7	1
	5	5	1	6	2	∞	3	1
	6	1	6	3	1	4	∞	1

Произведем приведение матрицы C по столбцам:

g_i = min(υ) g_νi

		1	2	3	4	5	6
С’ =	1	∞	2	3	4	0	5
	2	0	∞	4	0	2	1
	3	3	1	∞	2	5	0
	4	2	3	0	∞	4	6
	5	4	0	5	1	∞	2
	6	0	5	2	0	3	∞
	gi	0	0	0	0	0	0

В итоге получаем полностью приведенную (редуцированную) матрицу:

		1	2	3	4	5	6	hν
С0 =	1	∞	2	3	4	0	5	1
	2	0	∞	4	0	2	1	1
	3	3	1	∞	2	5	0	1
	4	2	3	0	∞	4	6	1
	5	4	0	5	1	∞	2	1
	6	0	5	2	0	3	∞	1
	gi	0	0	0	0	0	0

Величины h_ν и g_i называются константами приведения.

Нижняя граница цикла: d₀=6 ().

Шаг №1.

Определяем ребро ветвления и разобьем все множество допустимых значений Q⁰ относительно этого ребра на два непересекающихся подмножества () и (), т.е. , где

В приведенной матрице исследуем все нулевые переходы.

		1	2	3	4	5	6	αν
C0 =	1	∞	2	3	4	0(4)	5	2
	2	0(0)	∞	4	0(0)	2	1	0
	3	3	1	∞	2	5	0(2)	1
	4	2	3	0(4)	∞	4	6	2
	5	4	0(2)	5	1	∞	2	1
	6	0(0)	5	2	0(0)	3	∞	0
	βi	0	1	2	0	2	1

Наибольшая сумма констант приведения равна

υ₁₅= α₁ + β₅ =2+2=4, следовательно,

множество разбивается на два подмножества и .

Оценка длины цикла: .

В результате получим другую сокращенную матрицу (5x5), которая подлежит операции приведения.

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

		1	2	3	4	6	hν
	2	0	∞	4	0	1	0
	3	3	1	∞	2	0	0
C1=	4	2	3	0	∞	6	0
	5	∞	0	5	1	2	0
	6	0	5	2	0	∞	0
	gi	0	0	0	0	0

d₁=0

Шаг №2.

Определяем ребро ветвления и разобьем все множество допустимых значений Q¹ относительно этого ребра на два непересекающихся подмножества .

В приведенной матрице исследуем все нулевые переходы.

		1	2	3	4	6	αν
	2	0(0)	∞	4	0(0)	1	0
	3	3	1	∞	2	0(2)	1
C1=	4	2	3	0(4)	∞	6	2
	5	∞	0(2)	5	1	2	1
	6	0(0)	5	2	0(0)	∞	0
	βi	0	1	2	0	1

Наибольшая сумма констант приведения равна

υ₄₃=2+2=4, следовательно,

множество разбивается на два подмножества и .

Оценка длины цикла: .

Оценка на перспективном множестве:

В результате получим другую сокращенную матрицу (4x4), которая подлежит операции приведения.

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

		1	2	4	6	hν
C2 =	2	0	∞	0	1	0
	3	3	1	∞	0	0
	5	∞	0	1	2	0
	6	0	5	0	∞	0
	gi	0	0	0	0

d₂=0

Шаг №3.

Определяем ребро ветвления и разобьем все множество допустимых значений Q² относительно этого ребра на два непересекающихся подмножества .

В приведенной матрице исследуем все нулевые переходы.

		1	2	5	6	αν
C2 =	2	0(0)	∞	0(0)	1	0
	3	3	1	∞	0(2)	1
	5	∞	0(2)	1	2	1
	6	0(0)	5	0(0)	∞	0
	βi	0	1	0	1

Наибольшая сумма констант приведения равна

υ₃₆=1+1=2, следовательно,

множество разбивается на два подмножества и .

Оценка длины цикла: .

Оценка на перспективном множестве:

В результате получим другую сокращенную матрицу (3x3), которая подлежит операции приведения.

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

		1	2	4	hν
	2	0	∞	0	0
C3 =	5	∞	0	1	0
	6	0	5	0	0
	gi	0	0	0

d₃=0

Шаг №4.

Определяем ребро ветвления и разобьем все множество допустимых значений Q³ относительно этого ребра на два непересекающихся подмножества .

В приведенной матрице исследуем все нулевые переходы.

		1	2	4	αν
	2	0(0)	∞	0(1)	2
C3 =	5	∞	0(6)	1	1
	6	0(5)	5	∞	5
	βi	0	5	1

Наибольшая сумма констант приведения равна

υ₅₂=1+5=6, следовательно,

множество разбивается на два подмножества и .

Оценка длины цикла: .

Оценка на перспективном множестве:

В результате получим другую сокращенную матрицу (2x2), которая подлежит операции приведения.

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

		1	4	hν
C4 =	2	0	0	0
	6	0	∞	0
	gi	0	0

d₄=0

В соответствии с этой матрицей включаем в маршрут и .

Ответ: l* =C₁₅+C₅₂+C₂₄+C₄₃+C₃₆+C₆₁=1+1+1+1+1+1=6.

Дерево решения имеет следующий вид: