4.1. Вселенная.

Основные формулы и законы.

1. Уравнение движения одного тела массой m относительно другого массой М по круговой орбите радиуса r:

m•v²/r = G•m•М / r² (1)

позволяет оценить :

а) радиус орбиты космического тела r;

б) период обращения Т относительно силового центра, используя соотношение

v = (2π/T)•r (2).

В выражении (1) G=6,6726 •10^-11м³/(кг•с²)–

гравитационная постоянная.

2. Первая космическая скорость:

v₁=(GМ/R)^1/2 (3).

Вторая космическая скорость:

v₂=(2GМ/R)^1/2 (4),

где М и R – масса и радиус космического тела.

3. Закон Кеплера: Квадраты периодов Т обращения вокруг Солнца любых двух планет относятся как кубы их средних расстояний R до Солнца:

T₁²/ T₂² = R₁³/R₂³ (5)

4. Скорость удаления галактики v и расстояние до нее

r связаны между собой законом Э.Хаббла:

v = Н•r (6),

где Н=75км/с на 1Мпк=2,43•10^-18с^-1 –постоянная

Хаббла, одинаковая для всех галактик по всем направлениям небосвода, равна обратному возрасту Вселенной τ_В: τ_В =1/ Н.

Примеры решения задач.

Пример 1: На каком среднем расстоянии от Солнца движется планета Венера, если ее период обращения вокруг Солнца составляет 0,615 земного года?

Решение: Если в уравнение (1) подставить выражение для v из (2), то получим выражение для среднего расстояния Венеры от Солнца:

r =(GМТ_В² / 4π² )^2/3 .

Возьмем значения: гравитационной постоянной G=6,6726•10^-11м³/(кг•с²), массы Солнца М=1,989•10³⁰кг и значение земного года Т_З=365,26 суток из таблицы 1.

Период обращения Венеры вокруг Солнца равен Т_В = 0,615• Т_З=224,635 суток = 224,635•24•3600с=1,941•10⁷ с.

Таким образом,

r =[6,6726 •10^-11 •1,989•10³⁰ •(1,941•10⁷)² / (4•3,14²)]^2/3 =1,17•10¹¹м.

Ответ: r=1,17•10¹¹м.

Пример 2: Две звезды массами m₁ и m₂ , находящиеся на расстоянии r, обращаются вокруг центра масс звезд. Чему равен период обращения звезд?

Решение: 1) Определим сначала положение центра масс системы из двух звезд относительно первой звезды r₁ (т.С на рис.)

r₁= (m₁•0 + m₂•r)/( m₁ + m₂) = m₂•r/( m₁ + m₂).

2) Для первой звезды уравнение движения (1) имеет вид:

m₁•v₁²/r₁ = G•m₁•m₂ / r²

Заменив, согласно (2), скорость v₁, получим выражение для периода обращения:

Т= 2π•r[r₁/(G • m₂)]^1/2 .

После замены r₁ получим ответ :

Т= 2π•r [r/(G •( m₁+ m₂))]^1/2 .

Пример 3: Чему равны первая и вторая космические скорости для космического тела массой 10³⁰ т и

радиусом 8•10⁸км?

Решение: 1) Первую космическую скорость необходимо сообщить космическому аппарату, чтобы он превратился в искусственный спутник космического тела. Согласно выражению (3): v₁ =(GМ/R)^1/2 . Подставив числовые значения получим:

v₁=[6,6726 •10^-11 •10³⁰•10³/(8•10⁸•10³)]^1/2 =2,9•10⁵м/с.

2) При сообщении аппарату второй космической скорости он навсегда покидает зону притяжения планеты. Её можно определить, используя закон сохранения и превращения энергии - кинетическая энергия, сообщаемая аппарату, расходуется на преодоление гравитационного притяжения аппарата к планете.

Согласно выражению (4): v₂=(2GМ/R)^1/2 = 4,1•10⁵м/с.

Ответы: v₁=2,9•10⁵м/с.

v₂=4,1•10⁵м/с.

Пример 4: Определить угловой диаметр Юпитера α в момент наибольшего сближения Земли и Юпитера

(в радианах и угловых минутах) .

Решение: На рисунке: D=2R – диаметр Юпитера;

r =r_Ю-С – r_З-С - расстояние наибольшего сближения Земли и Юпитера; α – угловой диаметр Юпитера.

Из рисунка легко получить: (2R /2)/r = tg(α/2)≈ α/2 и:

α = 2R/(r_Ю-С – r_З-С)).

Радиус Юпитера R=71398км и расстояния Юпитер-Солнце r_Ю-С=778,3 млн.км и Земля-Солнце

r_З-С=149,6 млн.км берем из таблицы 1.

α = 2•71398•10³/[(778,3– 149,6 ) •10⁹] = 0,2275•10^-3 рад.

Учитывая, что π=3,14 рад соответствует 180•60 угловым минутам, легко получить, что

α = 0,2275•10^-3 рад.= 0,7825΄.

Ответ: α = 0,2275•10^-3 рад.= 0,7825΄.

Условия задач.

1. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Солнца.

2. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Меркурия.

3. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Венеры.

4. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Марса.

5. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Юпитера.

6. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Сатурна.

7. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Урана.

8. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Нептуна.

9. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Плутона.

10. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Луны.

11. Определить продолжительность года на Марсе.

12. Определить продолжительность года на Меркурии.

13. Определить продолжительность года на Венере.

14. Определить продолжительность года на Юпитере.

15. Определить продолжительность года на Сатурне.

16. Определить продолжительность года на Уране.

17. Определить продолжительность года на Нептуне.

18. Определить продолжительность года на Плутоне.

19. Период вращения двух звезд массами m₁=2•10³²кг и m₂=4•10³⁴кг вокруг общего центра масс равен 3,8 лет. Чему равно расстояние между звездами?

20. Период вращения двух звезд массами m₁=2•10³⁰кг и m₂=4•10³¹кг вокруг общего центра масс равен 4,6 лет. Чему равно расстояние между звездами?

21. Две звезды, находящиеся на расстоянии r= 7•10¹³м, вращаются вокруг общего центра масс с периодом, равным Т=7,2 года. Чему равна масса одной из звезд m₁, если масса второй звезды m₂ равна 4•10³²кг?

22. Две звезды, находящиеся на расстоянии r= 5•10¹⁰м, вращаются вокруг общего центра масс с периодом, равным Т=12 лет. Чему равна масса одной из звезд m₁, если масса второй звезды m₂ равна 8•10³³ кг ?

23. Определить видимые угловые диаметры Нептуна в моменты наибольшего

и наименьшего сближений Земли и Нептуна.

24. Определить видимые угловые диаметры Марса в моменты наибольшего

и наименьшего сближений Земли и Марса.

25. Определить видимые угловые диаметры Венеры в моменты наибольшего

и наименьшего сближений Земли и Венеры.

26. Определить видимые угловые диаметры Сатурна в моменты наибольшего и наименьшего сближений Земли и Сатурна.

27. Период обращения малой планеты Цереры вокруг Солнца равен 4,71 земного года, а Марса – 1,88 земного года. На каком среднем расстоянии от Солнца находится Церера?

28. Период обращения малой планеты Паллады вокруг Солнца равен 4,6 земного года, а Венеры–227,7 земных суток. На каком среднем расстоянии от Солнца находится Паллада?

29. В Галактике с красным смещением в спектре, соответствующим скорости удаления 20 000 км/с, вспыхнула сверхновая звезда. Определить расстояние до этой звезды.

30. Шаровое звездное скопление находится от нас на расстоянии 320 Мпк. С какой скоростью оно удаляется от нас?