Стат_Лекция 09

Лекция 9. Ряды и анализ динамики

Изменение социально-экономических явлений и процессов во времени в статистическом исследовании изучается при помощи рядов динамики, которые еще называются хронологическими или временными.

Ряды динамики – ряды последовательных статистических величин, отражающие изменение изучаемого показателя во времени, состоят из двух элементов:

• уровни ряда;

• периода или момента времени между уровнями ряда.

Ряды динамики в зависимости от времени, к которому относятся его уровни, длятся на моментные и интервальные.

Для анализа рядов динамики применяется ряд показателей, которые определяют изменение общественных явлений во времени. К ним относятся: уровень ряда, абсолютный прирост, темпы роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста, средний абсолютный прирост, средние темпы роста и прироста.

Абсолютный прирост – показатель, который характеризует абсолютный размер увеличения или уменьшения текущего уровня ряда по сравнению с начальным (базисным) или предшествующим (цепным):

б = Ут – Уб; ц = Ут – Ут-1

(48) (48а)

где б – абсолютный прирост базисный; ц – абсолютный прирост цепной; У_т – уровень текущий; У_б – уровень базисный; У_т-1 – уровень предшествующий.

Средний абсолютный прирост характеризует средний ежегодный прирост уровня изучаемого явления. Исчисляется по формуле

= ,

(48б)

где n – число уровней ряда; У_n – последний уровень ряда.

Темп роста – показатель, который характеризует, во сколько раз данный уровень ряда больше начального (базисного) или предшествующего (цепного) уровня или какую долю от них составляет. Исчисляется он по формуле:

;	(49) (49а)

где - темп роста базисный; – темп роста цепной.

Средний темп роста показывает, во сколько раз в среднем увеличивается текущий уровень изучаемого явления по сравнению с уровнем предшествующего периода за изучаемый период.

Исчисляется он по формуле:

.

(50)

Темп прироста – показатель, который характеризует относительную величину прироста по отношению к начальному (базисному) или предшествующему (цепному) уровню. Исчисляется он по формуле

;	(51) (51а)

где – темп прироста базисный; – темп прироста цепной.

Между темпами роста и прироста существует взаимосвязь. Темп прироста равен темпу роста минус единица или 100%. Средний темп прироста показывает, на сколько процентов увеличился или уменьшился в среднем текущий уровень по сравнению с предшествующим.

(51б)

Абсолютное значение одного процента прироста А(%) показывает сколько абсолютных единиц скрывается за каждым процентом прироста. Исчисляется оно по формуле:

А%=,

(52)

где _i – абсолютный прирост;

Т_{пр i} – соответствующий темп прироста (табл. 30).

Таблица 30. Пример исчисления показателей анализа рядов динамики

Год	Товарная продукция, тыс. руб.	Темп роста, %		Абсолютный прирост, тыс. руб.		Темп прироста, %		Абсолютное значение прироста 1%, тыс. руб.
		базисный	цеп-ной	базисный	цеп-ной	базисный	цеп-ной	базис-ное	цеп-ное
	381,5	100.0	-	-	-	-	-	-	-
2	386.5	101,3	101,3	5	5	1,3	1,3	3,8	3,8
3	396,5	103,9	102,6	15	10	3,9	2,6	3,8	3,8
4	396,5	103,9	100,0	15	-	3,9	2,6	3,8	-
5	404,5	106,3	102,3	23	8	6,3	0,5	3,6	0,96

Средние ряды динамики называются средними хронологическими.

Хронологическая средняя – показатель, который характеризует, среднюю величину уровня явления за изучаемый период.

- Среднехронологическая для интервального ряда определяется, исходя из равенства, что сумма уровней ряда равна сумме их средних, т.е., отсюда:

=

(53)

Пример исчисления среднехронологической для интервального ряда приведен в таблице 31:

Таблица 31. Пример исчисления среднехронологической для интервального ряда

Год	Товарная продукция, тыс.руб.
1	3859
2	3927,5
3	3984,5
4	4045,0
5	4137
Итого	19952,0

Среднегодовой выпуск продукции за пятилетие составит 7981,4 тыс. руб.

=3990,5 тыс. руб.

- Среднехронологическая для моментных рядов, разделенных неравными интервалами времени, исчисляется по формуле:

=,

(54)

где – промежутки времени.

Пример исчисления среднехонологической для моментного ряда, разделенного неравными промежутками времени, приведен в таблице 32.

Таблица 32. Пример исчисления среднехонологической для моментного ряда, разделенного неравными промежутками времени

Списочное число рабочих	Период времени, дни	1  2
800	16	12800
896	4	3584
884	10	8840
Итого	30	25224

Среднее число рабочих за месяц равно: = = 840,6 чел.

- Среднехонологическая для моментных рядов, разделенных равными промежутками времени, исчисляется по формуле:

= :

(55)

Пример исчисления среднехонологической для моментных рядов, разделенных равными промежутками времени, приведен в таблице 33:

Таблица 33. Пример исчисления среднехонологической для моментных рядов, разделенных равными промежутками времени

Даты	Списочное число рабочих
01.04	573
01.05	631
01.06	663
01.07	707

Среднесписочное число рабочих за первый квартал составит:

= = 644,7 чел.

Для выявления связи или различия динамики двух и более рядов динамики между собой, а также для их сравнения применяется способ приведения рядов динамики к одному основанию. В некоторых случаях для сравнения рядов динамики применяются коэффициенты опережения и ускорения (замедления) среднегодовых темпов роста. Коэффициент опережения показывает, во сколько раз быстрее возрастает уровень одного ряда по сравнению с уровнем другого. Коэффициент опережения среднегодовых темпов роста К_оп исчисляется по формуле:

(56)

где – больший среднегодовой темп роста;

– меньший среднегодовой темп роста.

Коэффициент ускорения (замедления) среднегодовых темпов роста показывает, во сколько раз убыстрились среднегодовые темпы роста в текущем периоде, по сравнению с предшествующим периодом.

Для выявления общей закономерности ряда динамики в целом (общей тенденции ряда) применяется его сглаживание. Оно осуществляется механическим и аналитическим способами. Механический – сводится к определению скользящих средних, ее сущность заключается в замене абсолютных уровней ряда средними, исчисленными из данного уравнения и двух соседних, которые образуются последовательным исключением начального уровня ряда и заменой его очередным уровнем (табл. 34).

Таблица 34. Пример исчисления скользящей средней

Год	Товарная продукция, тыс. руб.	Скользящая сумма	Скользящая средняя
1	1180	-	-
2	1130	3491,5	1163,8
3	1181,5	3495,5	1165,5
4	1184	3533,5	1177,8
5	1168	-	-

Суть метода аналитического выравнивания ряда динамики состоит том, что на основании исходных эмпирических данных рассчитываются средние уровни ряда, которые свободны от случайных колебаний. Аналитическое выравнивание осуществляется по уравнению прямой линии (табл. 35):

Таблица 35. Пример аналитического сглаживания рядов динамики

Год	Товарная продукция, тыс. руб.	Расчетные графы			t
		t	t2	yt
1	2,36	-2	4	-4,72	2,336
2	2,36	-1	1	-2,36	2,363
3	2,37	0	0	0	2,360
4	2,37	+1	1	+2,37	2,357
5	2,34	+2	4	+4,68	2,354
Итого	11,80	0	10	0,03	11,80

= а_о + а_it_i,

где а_о и а_i – параметр;

t_i – промежутки времени между уровнями ряда;

– средние уровни ряда, величина которых зависит от размеров.

Для определения параметров а_о и а_i необходимо решить систему двух нормальных уравнений:

, (57)

.

Эта система упростится, если отсчет времени производить таким образом, чтобы . В этих условиях система уравнений примет вид:

, (57а)

.

Условный отсчет времени ведется от 3-го года. В этих условиях

11,8 тыс. руб.; 2,36 тыс. руб.

10;

Подставим значение параметров в уравнение и получим:

=2,36+(-0,003).

Путем подставления значений t_i определяем средние уровни ряда.

Для определения неизвестных промежуточных значений ряда динамики применяется интерполяция, а экстраполяция – для определения уровней ряда за пределами ряда динамики.

Колеблемость рядов динамики характеризуется размахом (амплитудой) колебания (R_t), средним линейным отклонением () и дисперсией (), которые исчисляются по тренду (А), который равен разности между абсолютными значениями ряда и выравненными по уравнению прямой линии; т. е. =y_i-.

R_t=_max-_min. (58)

=, (59)

=. (60)

Относительным показателем колеблемости уровня динамического ряда является коэффициент колеблемости, который исчисляется по формуле

V=. (61)

Мерой устойчивости ряда динамики (К_ус) является величина, исчисленная согласно формуле:

К_ус = I – V. (62)

Пример исчисления показателей, характеризующих колеблемость рядов динамики приведен в таблице 36:

Таблица 36. Пример исчисления показателей, характеризующих колеблемость рядов динамики

Год	Товарная продукция, тыс. руб.		Отклонения по тренду, тыс. руб.
1	2	3	4=гр.3-гр.2   	5
1	2,36	2,336	-0,024	0,000576
2	2,36	2,363	-0,003	0,000009
3	2,37	2,360	-0,010	0,000100
4	2,37	2,357	+0,013	0,000169
5	2,34	2,354	+0,014	0,000196
Итого	11,80	11,80	0,064	0,001050

= 11,80/5 = 2,360;

R_t = 0,014- (- 0,024) = 0,038 тыс. руб.;

=0,064/5 = 0,0128 тыс. руб.;

= 0,001050/5 = 0,00021 тыс. руб.;

= = 0,014491 тыс. руб.;

V = 0,014491/2,360 = 0,00614;

К_ус = 1 – 0,00614 = 0,99386 или ряд устойчив на 99,39%.

Для изучения связи в рядах динамики применяется корреляционный анализ. На тесноту связи в рядах динамика влияет автокорреляция, т. е. зависимость каждого последующего уровня ряда динамики от предыдущего, поэтому в рядах динамики теснота связи исчисляется при помощи линейного коэффициента корреляции, исчисленного либо из первых разностей, либо от выровненных уровней по уравнению прямой линии

=

(63)

где =, =.

=. (64)

В современных компьютерах имеются стандартные программы статистического анализа:

1. корреляция;

2.

ВОПРОСЫ ПО ЛЕКЦИИ 9.

1. Чем отличаются темпы прироста от темпов роста

а) темп роста равен темпу прироста

б) темп роста всегда выше темпа прироста

в) темп прироста равен разности темпа роста минус единица (или, если в %, то минус 100%)

г) темп прироста равен сумме темпа роста плюс единица (или, если в %, то плюс 100%)

д) темп роста равен сумме темпа прироста плюс единица (или, если в %, то плюс 100%)

2. Чем различаются базисные и цепные темпы роста и прироста

а) Базисные - рассчитываются отношением нового значения к предыдущему, а цепные – как отношение новых значений к значению показателя, принятого за базу

б) Базисные - рассчитываются отношением нового значения к базовому – (первому значению ряда), а цепные – как отношение новых значений к предыдущему значению показателя

в) Базисные - рассчитываются отношением значения любого показателя к предыдущему, а цепные – как отношение любых значений к значению показателя, принятого за базу