Лекция 10. Индексы
Изменение сложных явлений во времени и пространстве изучается с помощью индексов. Индексы в статистике – относительные величины, характеризующие изменение сложных явлений, отдельные элементы которых между собой непосредственно не сопоставимы во времени или пространстве. К индексам причисляются относительные величины выполнения плана, динамики, сравнения, характеризующие изменение сложных явлений.
Индивидуальные индексы характеризуют соотношение отдельных элементов сложных статистических совокупностей. Индивидуальные индексы исчисляются путем сопоставления двух величин, характеризующих изменение уровней во времени или пространстве одного фактора (объема или цен) по формуле:
|
|
(65) |
где q0, q1 – выпуск продукции в натуральном выражении в базисном и отчетном периодах соответственно; Р0, Р1 – соответственно цена единицы продукции в базисном и отчетном периодах.
В зависимости от базового периода, с которым сравнивается отчетный, различают индексы с постоянной базой сравнения, или базисные индексы, и с переменной базой сравнения, или цепные индексы. При исчислении базисных индексов каждый уровень сравнивается с одним и тем же начальным уровнем; при нахождении цепных индексов каждый уровень сравнивается с непосредственно предшествующим уровнем.
Пример исчисления базисных и цепных индексов приведен в таблице 37:
Таблица 37. Пример исчисления базисных и цепных индексов
|
Год |
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс. руб. |
Индексы |
|
|
Базисные, % к 1-ому году. |
Цепные, % к предшеств. году |
||
|
0 |
243,4 |
100,0 |
- |
|
1 |
256,8 |
105,5 |
105,5 |
|
2 |
284,0 |
116,8 |
110,6 |
|
3 |
311,4 |
128,8 |
109,6 |
|
4 |
343,0 |
140,9 |
110,1 |
|
5 |
404,0 |
166,2 |
118,1 |
Общие индексы, характеризующие соотношение сложного социально-экономического явления, состоят из двух и более отдельных элементов, соизмеримых между собой во времени или пространстве. Общий индекс определяется по формуле:
,
Общий индекс – показатель, который характеризует, общее изменение товарооборота за период в результате отношения новых значений (норм и цен) на базовые их значения. Для сравнения изменения отдельных составляющих общего индекса, используется агрегатный индекс.
Агрегатный индекс – дробь, числитель и знаменатель которой – суммы произведений двух величин, одна из них – переменная (индексируемая), другая – условно-постоянная, принятая в качестве измерителя весов.
Существуют два агрегатных индекса:
а) по формуле Ласпейреса (отражает изменение одного фактора, взвешенного по базовым весам – «0» другого фактора):
|
или
|
(66)
(66а) |
,
б) или по формуле Пааше (отражает изменение одного фактора, взвешенного по базовым весам – «1» другого фактора):
|
или
|
(66б)
(66в) |
,
Индекс, исчисленный по формуле (66), является индексом физического объема продукции (табл. 38).
Таблица 38. Пример исчисления общего индекса физического объема по формуле агрегатного индекса (при постоянных ценах)
|
Виды продукции |
Выпущено, тыс. ед. |
Цена за единицу продукции в базисном периоде, руб. |
Стоимость продукции, тыс. руб. |
||
|
базисный |
отчетный |
базисная |
отчетная |
||
|
Продукция №1 |
25 |
30 |
3 |
750 |
900 |
|
Продукция №2 |
20 |
22 |
5 |
1000 |
1100 |
|
Продукция №3 |
27 |
35 |
5 |
1350 |
1750 |
|
Продукция №4 |
30 |
32 |
8 |
2400 |
2560 |
|
Итого |
|
|
|
5500 |
6310 |
Объем выпуска всей продукции увеличился в 1,132 раза, или на 13,2%.
%.
При исчислении индексов за ряд периодов для всех периодов могут быть приняты либо одни и те же веса, либо для каждого индекса принимаются веса текущего периода. В зависимости от периода, к которому приурочены веса, различают индексы с постоянными и переменными весами.
Агрегатные индексы могут быть исчислены только в случае, если известны индексируемые величины и измерители веса. В случае, когда эти данные отсутствуют, а имеются сведения об общих объемах и индивидуальных индексах, применяются общие индексы, исчисленные по формуле среднеарифметического индекса:
|
|
(67) |
.Этот индекс тождественен агрегатному.
В ряде случаев приходится изучать динамику явлений, уровень которых выражен средними величинами (средняя выработка, зарплата и т.д.). Динамика средних уровней исчисляется при помощи исчисления индексов переменного и фиксированного составов. Индексы переменного состава характеризуют соотношение средних уровней изучаемого явления. Индекс фиксированного состава – средний из индивидуальных индексов.
Между индексами, отражающими изменение взаимосвязанных экономических явлений, существует та же взаимосвязь и взаимозависимость, что и между этими экономическими явлениями. Так, например, взаимосвязь между изменением стоимости продукции, ее количеством и ценой может быть выражена общим индексом Y следующим образом:
.
(68)
Система взаимосвязанных индексов позволяет изучать взаимосвязь между экономическими и общественными явлениями, производить факторный анализ с целью выявления роли отдельных факторов в изменении сложного экономического явления. Кроме того, таким соотношением пользуются для косвенного получения того или иного индекса, значение которого неизвестно, а также для проверки правильности исчисления сопряженных индексов. Если результативный признак зависит от трех и более факторов, то результативный признак имеет вид:
.
(69)
Изменение результативного индекса за счет каждого фактора может быть выражено соотношениями:
-
Изменение за счет фактора A:
.
(69а)
2. Изменение за счет фактора B:
.
(69б)
3. Изменение за счет фактора C:
.
(69в)
4. Изменение за счет фактора N:
.
(69г)
Система взаимосвязанных индексов имеет вид:
.
(70)
Общий индекс цен может быть построен и как средняя геометрическая из агрегатных индексов цен Ласпейреса и Пааше, т.е. по формуле Фишера:
|
|
(71) |
.Это так называемый индекс Фишера, рекомендуемый его автором в тех случаях, когда трудно отдать предпочтение весам q0 или q1. Поскольку в этой формуле учтены веса обоих периодов, Фишер считал этот индекс идеальным.
Следует также обратить внимание на то, что если строится ряд индексов, то они могут быть построены или как цепные (ряд индексов, каждый из которых построен по отношению к предыдущему периоду), или как базисные (ряд индексов, построенных в сравнении с одной и той же базой). Произведение цепных индексов дает базисный индекс. Путем деления двух базисных индексов легко получить цепной индекс.
Особое место в статистике занимают так называемые индексы переменного и фиксированного состава, используемые при анализе динамики средних показателей.
Индексом переменного состава (Iпс) называют отношение двух средних уровней.
Если индексируемую величину обозначить через х, а веса через f, то в общем виде индекс переменного состава можно записать как:
|
|
(72) |
.Очевидно, что средняя величина показателя (х) может меняться как за счет изменения значений осредняемого признака (х) у отдельных единиц, так и за счет изменения их весов (f), т.е. за счет изменения состава (структуры) совокупности. Это и является основанием для именования данного отношения средних величин индексом переменного состава.
Если при расчете средних величин за два периода зафиксировать веса одного и того же периода, то при сравнении таких средних влияние изменения структурного фактора будет устранено, и этот индекс называют индексом фиксированного (или постоянного) состава (Iфс).
Веса при этом фиксируются, как правило, на уровне текущего периода (f1), т.е.
|
|
(73) |
.
Нетрудно
заметить, что при сокращении на
этот индекс можно записать как
, Т.Е. В агрегатном виде. (73а)
Индекс фиксированного состава характеризует среднее изменение самого осредняемого признака при постоянстве структуры совокупности.
При сравнении средних показателей можно принять неизменными значения х, тогда на динамику средних будет оказывать влияние только изменение весов, т.е. структуры совокупности. Этот индекс условно называют индексом структуры (или индексом структурных сдвигов) (Iстр):
|
|
(73б) |
.т.е. индекс структуры можно получить, разделив индекс переменного состава на индекс фиксированного состава.
Индекс структуры показывает, в какой степени изменение средней величины индексируемого показателя произошло за счет изменения структуры (состава) совокупности.
Рассмотрим решение некоторых задач к данной теме.
ВОПРОСЫ ПО ЛЕКЦИИ 10
1.Как рассчитывается сложный (агрегатный) индекс
а) отношением суммы произведений новых значений цен и физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и физических объемов
б) отношением суммы произведений новых значений цен и базовых физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и базовых физических объемов
в) отношением суммы произведений новых значений цен и новых физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и новых физических объемов
г) отношением суммы произведений базовых значений цен и базовых физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и новых физических объемов
д) отношением суммы произведений базовых значений цен и базовых физических объемов к сумме произведений новых значений цен и новых физических объемов
2. Как рассчитывается индекс Ласпейреса
а) отношением суммы произведений новых значений цен и физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и физических объемов
б) отношением суммы произведений новых значений цен и базовых физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и базовых физических объемов
в) отношением суммы произведений новых значений цен и новых физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и новых физических объемов
г) отношением суммы произведений базовых значений цен и базовых физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и новых физических объемов
д) отношением суммы произведений базовых значений цен и базовых физических объемов к сумме произведений новых значений цен и новых физических объемов
3. Как рассчитывается индекс Пааше
а) отношением суммы произведений новых значений цен и физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и физических объемов
б) отношением суммы произведений новых значений цен и базовых физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и базовых физических объемов
в) отношением суммы произведений новых значений цен и новых физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и новых физических объемов
г) отношением суммы произведений базовых значений цен и базовых физических объемов к сумме произведений базовых значений цен и новых физических объемов
д) отношением суммы произведений базовых значений цен и базовых физических объемов к сумме произведений новых значений цен и новых физических объемов