Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский университет дружбы народов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция-4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

449.72 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция № 4

4.1. Сила упругости

Эта сила обусловлена взаимодействием между частицами вещества (мо-

лекулами) и, поэтому, имеет электромагнитную природу. Она возникает внутри деформированного тела при действии на него внешней силы Fвнешняя.

При этом (согласно 3-му закону Ньютона): Fупр. Fвнешняя .

Природа силы упругости. Fупр. является фактически силой взаимодейст-

вия Fвз вия между двумя соседними атомами твёрдого тела. Рассмотрим зави-

симость величины Fвз вия от расстояния r между центрами соседних атомов.

Как известно, атомы твёрдого тела организованы в упорядоченную структу-

ру, называемую кристаллической решёткой, характеризуемую постоянной

			кристаллической решётки ro (это сред-
Fвз вия		О тталкивание	нее расстояние между центрами атомов
		О тталкивание	нее расстояние между центрами атомов
		О бласть упругих	в данном направлении). Между двумя
		О бласть упругих	атомами действуют одновременно две
		деформаций	атомами действуют одновременно две
			электростатические силы: сила притя-
0	ro	r	жения между положительно заряжен-
			ным ядром данного атома и отрица-
		П ритяж ение	тельно заряженной электронной обо-
			тельно заряженной электронной обо-
			лочкой другого и сила отталкивания

между одноимённо заряженными ядрами и электронными оболочками обоих атомов. При попытке сблизить атомы на расстояние r ro преобладает сила отталкивания (при этом Fвз вия 0), при разнесении атомов на r>ro преоблада-

ет сила притяжения (при этом Fвз вия 0).

С точки зрения "поведения" тела, после прекращения действия внешней силы, деформации разделяют на упругие и пластичные. С точки зрения сме-

щения атомов относительно друг друга, различают следующие виды де-

		формаций: 1) сжатие (или растяжение), 2) из-
Fвнеш.	F	гиб; 3) сдвиг; 4)	кручение. Причём, изгиб сво-

	внеш.
		дится к сжатию,	а кручение – к сдвигу. Из ри-

растяжение

сжатие	сунка видно, что при изгибе верхние слои стерж-
сжатие
	ня растягиваются, а нижние сжимаются; средние
	же слои деформации не испытывают. Поэтому

сердцевину стержня можно удалить без существенного снижения его прочно-

сти, что и имеет место: 1) в технике (используют трубы, а не сплошные стерж-

ни); 2) у злаковых растений стебли трубчатые; 3) трубчатые кости у животных; 4) молодые листья свёрнуты трубочкой; 5) лист бумаги для прочности сворачи-

вают в трубочку и т. п.

			Закон Гука
			Описывает зависимость Fупр. от величины
			Описывает зависимость Fупр. от величины
		S	деформации l, свойств вещества и размеров те-
l	Fупр.		ла. Закон открыт в 1660 году английским учёным
			Робертом Гуком. Он опытным путём установил,
			что:

Fупр.

l =

внеш.

Fвнеш.

E S

Fупр.

= -

E S

= -k l .

Коэффициент жёсткости

Fупр. = - k l

образца

Закон Гука: сила упругости пропорциональна величине деформации и на-

правлена противоположно (знак ‘-‘ в формуле) внешней силе.

Е - модуль Юнга, характеризует упругие свойства вещества; причём [E] =

Н/м2 = Па (Паскаль - единица давления); например, для стали, Е=2 1011 Па.

Замечание: закон Гука справедлив только для упругих деформаций.

	4.2. Сила трения
	Возникает на границе двух тел или между
	2 Fтр.12
Fтр.21	слоями жидкости или газа и препятствует смеще-
	1
	нию тел (или слоёв среды) относительно друг дру-
га. Сила трения Fтр. направлена по касательной к поверхности соприкасаю-
щихся тел противоположно скорости скольжения данного тела (отсюда и
термин "трение скольжения"), т.е. Fтр. тормозит тело, имеющее большую
скорость, и ускоряет тело с меньшей скоростью.
Причины возникновения Fтр.: а) при больших неровностях Fтр. появля-
ется вследствие зацепления неровностей трущихся поверхностей; б) при ма-
лых неровностях (когда расстояние между трущимися поверхностями срав-
нимо с ro) Fтр.	обусловлена силами межмолекулярного сцепления.
При действии на тело касательной силы Fвнешняя сила трения может воз-
никать и в случае относительного покоя соприкасающихся тел. Такую силу
трения называют силой трения покоя Fтр.пок. , причём её модуль равен Fвнешняя
и в момент начала скольжения Fтр.пок.		> Fтр.скольжения .
Опытным путём установили, что:		Fтр.= N , где - коэффициент трения
для данной пары тел, N - сила нормального давления (не всегда N=m g!).
Способы уменьшения Fтр.:

1)смазка, т.е. замена сухого трения на жидкое (коньки, сани ….). Смазка ослабляет Fтр.в среднем в 10 раз;

2)подшипники, т.е. замена трения-скольжения на трение качения, причём

Fтр.качения ~ 1R , где R – радиус шариков (роликов) подшипников;

3)воздушная подушка (замена сухого трения на газовое трение);

4)оптимизация размеров шероховатости трущихся поверхностей.

Колебания и волны

4.3. Гармонические колебания

Колебательное движение - это такое движение, при котором система,

многократно отклоняясь от состояния своего равновесия, вновь и вновь воз-

вращается к нему. Колебания называют периодическими, если возврат со-

вершается через равные промежутки времени Т (период колебаний).

Примеры колебательного движения: вибрация струны, движения поршня двигателя, морские приливы и отливы, биение сердца, дыхание, тепловые

колебания атомов в кристаллах, переменный ток и т.п.

Замечательно то, что различные по природе колебания описываются од-

ними и теми же уравнениями.

Рассмотрим простейшее колебательное движение: изменение проекции

радиус-вектора длиной А на одну из осей при его равномерном вращении.


y			Величина проекции радиус-вектора на ось x
			Величина проекции радиус-вектора на ось x
			изменяется со временем по закону:
	A		изменяется со временем по закону:
y(t)	A		x(t)			A sin( ) .
y(t)			x(t)			A sin( ) .
O	x (t)	x	Но t 2 t			2 t , тогда:
	x (t)	x	Но t 2 t			2 t , тогда:
				T
		x(t) A sin( t) A sin(		2π	t) A sin(2 t)		.	( )
		x(t) A sin( t) A sin(			t) A sin(2 t)		.	( )
				T

Это и есть уравнение гармонических колебаний. Если бы мы рассмотрели проекцию радиус-вектора на ось у, то уравнение ( ) вместо функции sin со-

держало бы функцию cos.

Терминология: Т - период (время, за которое система совершает одно пол-

ное колебание), - частота (число колебаний за 1 с), - циклическая (круго-

вая) частота (число колебаний за 2 секунд). Фаза ( ) - выражение, стоя-

щее под знаком sin (или cos). Физический смысл фазы состоит в том, что она определяет состояние колебательной системы в данный момент времени. На-

чальная фаза ( o ) - значение о при t 0 (обычно выбирают o =0).

Проследим за изменением фазы со временем ( t (2 T ) t ):

t	0	T/4	T/2	T 3 4	T

	0	2		3 2	2

Определим линейную скорость проекции радиус-вектора в данный момент

времени:					Несколько полезных
dx A cos(ω t) = A sin( t					Несколько полезных
dx A cos(ω t) = A sin( t		2	).		соотношений:
dt		2			(sin( ))' = cos ;
Поскольку f ( t ), то	ускорение a 0 :				(cos( ))' = - sin( );
a d 2 A sin( t) 2 A sin( t ) 2					sin( )= - sin( + );
a d 2 A sin( t) 2 A sin( t ) 2				x .	сos = sin( + );
dt					2
	t)			a ( t)
x , , a				a ( t)
	x ( t)
2 A

T /2

-A

Выводы: 1) x, a изменяются с одинаковыми и Т; 2) амплитуды x,

a - различны: для x А, для A для a 2 A ; 3) фазы у x, a

также различны: опережает x на 2 (по времени - на Т/4); а опережает х на (по времени на Т/2); х и а совершают колебания в противофазе.

Для чего же было введено такое абстрактное понятие как гармонические колебания?

Теорема Фурье: любой реальный периодический сигнал можно представить в виде конечной суммы гармонических колебаний с различными амплитуда-

ми и частотами. Эту сумму называют гармоническим спектром данного сиг-

нала.

Гармонический спектр является «паспортом» сигнала, позволяющим од-

нозначно узнать (идентифицировать) его среди множества других сигналов одинаковой природы (звуковых, электрических, оптических сигналов).

4.4. Динамика колебательного движения

При колебательном движении ускорение a изменяется, следовательно,

это движение обусловлено воздействием на тело переменной силы (называе-

мой возвращающей силой). Согласно второму закону Ньютона имеем:

Fвозвр. m a m 2 x .

1) Пружинный маятник. В этом случае возвращающей силой является сила

упругости пружины: Fвозвр. Fупр. k x .

Тогда:

k x m 2

, откуда период

m k

колебаний:

, т.е.

Т f (А, l).

Докажем справедливость закона сохранения механиче-

ской энергии W для пружинного маятника: W =Wк+Wп f(t).

m 2

2 2

k x2

m 2

cos ( t) ; W

sin

( t) =

sin

( t) .

m 2

Тогда: W =

A2 [sin 2 ( t) cos2 ( t)] =

;

k = m 2

m 2

т.е.

W =

f(t), что и требовалось доказать.

2) Математический маятник:

Fвозвр. m g tg .

Тогда: m g tg m 2 x. При малых (<5o)

имеем:

, тогда

2 x , откуда:

Fвозвр.

и T 2

, т.е. период математического

m g

маятнике не зависит ни от массы тела, ни от амплиту-

ды его колебаний.

III.Сложение гармонических колебаний

Всоответствии с принципом независимости движений тела вдоль коор-

динатных осей, изменения координат тела вдоль различных осей происходят независимо друг от друга.

1) Сложение одинаково направленных колебаний Пусть тело участвует одновременно в двух колебаниях одинаковой часто-

ты (т.е. 1 2 ), направленных вдоль одной оси:

x1 A1 sin( t 01) и

x2 A2 sin( t 02 ).

Тогда смещение тела в данный момент равно алгебраической сумме:

x x1 x2 A sin( t 0 ) ,

где

A1 sin

sin 02

A1 cos

cos 02

А =

A2 A2

2 A

A cos(

) .

Выводы: 1)

результирующие колебания также гармонические (с той же );

А = Аmax = A1+A2,

при

01 2 n (n - целое число);

А = Аmin = A1 - A2, при

01 (2n 1) ;

A = 0, при А1 = А2 и

(2n 1) .

Биения

Возникают при сложении двух одинаково направленных колебаний с раз-

личными (но близкими) частотами ( 1 2 ).
Пусть x1 A sin( 1t) и x2 A sin( 2t), где	01 02 0 .

	Тогда x x		x	2	2 A cos(		1 2		t) sin(	1 2					t) , где
	Тогда x x		x		2 A cos(				t) sin(						t) , где
	1				2				2
x					2				2
x											2						4
2A									Т=		2		=				4	;
2A									Т=				=					;
0																1 2
0								t	Т '=			2		=			4		.
								t				2					4

												'					1 2
		Т'				Т						'					1 2
-2A		Т'
-2A		2) Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний
		2) Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть тело участвует одновременно в двух колебаниях, направленных

вдоль взаимно перпендикулярных осей:

а) При

1 2 =

имеем:

x A1 sin( t 01) ;

y A2 sin( t 02 ).

Тогда, при 02

01 (2n 1)

, уравнение результирующих колебаний

имеет вид:

, это уравнение эллипса.

При А1 = А2

x2 y2 A2

это уравнение окружности с радиусом А.

При 02 01 (2n 1)

главная ось эллипса наклонена.

б) Если

1 2 , то картина (на экране) неустойчива ("плывёт").

в) Если частоты колебаний кратны друг другу ( 1 n 2 ),				то получают
колебания, называемые фигурами Лиссажу:				n=4
	n=1	n=2	n=3	n=4

4. 6. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс

x		В реальных колебательных системах
		В реальных колебательных системах
0		всегда есть трение между её элементами,
	t	что сопровождается превращением меха-


		нической энергии	Wмех. во внутреннюю
		Wвнутр. (теплоту). Когда вся Wмех. перехо-
дит в Wвнутр. , колебания прекращаются ( А 0 ). Для обеспечения незату-
хающих колебаний в системе,		характеризуемой	собственной частотой

o (с которой система колеблется, будучи предоставленной самой себе), надо компенсировать потери механической энергии. Этого достигают, воздействуя на систему (кроме возвращающей силы Fвозвр. ) периодически изменяющейся

(с частотой в) внешней силой f fo sin( в t) . В этом случае колебания

называют вынужденными, и уравнение динамики для такой системы имеет вид:

+ f = m a , но

a 2

x и

= m 2

x , тогда:

возвр.

m o2 x +

fo sin( в t)

= m в2 x , откуда:

x f

t) /[ m (

) ] =

A sin(

, где A

sin(

( )

m ( 2

2 )

Вывод: результирующие вынужденные колебания также являются гармо-

ническими и их амплитуда А зависит от соотношения частот o и в, при-

чём как следует из ( ) , при в о имеем A .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении (бли-зости) собственной частоты системы o и частоты внешней силы в называется резонансом. Зависимость А( в) тем больше выражена,

чем меньше коэффициент затухания колебательной системы. Резонанса

опасаются в мосто- и авиастроении, но его широко используют в радиотех-

нике, архитектуре (при строительстве концертных залов).

o в

4.7. Волна в среде: её характеристики и уравнение

Волна (волновой процесс) - это процесс распространения колебательного движения частиц среды. С точки зрения соотношения направлений колеба-

ний частиц в среде и распространения волны, различают волны продольные и поперечные. Поперечные волны существуют только в средах, упругих по от-

ношению к деформации сдвига (волна на шнуре, на поверхности жидкости,

электромагнитные волны). Продольные волны существуют в любых средах

(волна сжатий - растяжений на пружине, звук, ударная волна и т.п.).

x		Длина волны ( ) - расстояние, прохо-
		димое волной за период: = T .


	y
		Волновой фронт - совокупность точек

среды, колеблющихся синфазно. Луч - линия перпендикулярная волновому фронту (указывает направление распространения волны). С точки зрения формы волнового фронта, волны делят на: 1) плоские; 2) сферические; 3) ци-

линдрические и т.п.

Интенсивность волны I (плотность потока энергии в волне) - отношение энергии W, переносимой волной через площадку S, перпендикулярную лучу,

ко времени переноса t и размеру площадки:

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2015511.78 Кб12Лекция-14.pdf
#
15.04.2015339.69 Кб9Лекция-15.pdf
#
15.04.2015401.84 Кб8Лекция-17.pdf
#
15.04.2015243.45 Кб11Лекция-18.pdf
#
15.04.2015255.28 Кб12Лекция-3.pdf
#
15.04.2015449.72 Кб15Лекция-4.pdf
#
15.04.2015346.62 Кб11Лекция-5.pdf
#
03.11.2018139.78 Кб9Лекция-орган.включ.полная.doc
#
24.12.2018315.9 Кб4Лекция5,6.doc
#
15.04.2015600.42 Кб29Лекция_4_PDF.pdf
#
22.08.20191.09 Mб20Лекция_5 for evening (12.03.2012).docx