Лекция-3

Лекция № 3

Виды сил в механике

В механике различают три вида сил: силу гравитационного притяжения

(лат. gravitas - тяжесть), силу трения (или силу сопротивления движению в среде) и силу упругости. Причём, первая из них является фундаментальной силой (т.е. не сводимой к более общему виду взаимодействий), а две послед-

ние сводятся к электромагнитному взаимодействию (между молекулами).

3.1. Гравитационная сила

Какая сила заставляет тела падать, а планеты вращаться вокруг Солнца?

Этот вопрос давно волновал человечество. Ответ на него знает сейчас любой школьник: это гравитационная сила, описываемая Законом всемирного тя-

готения (ЗВТ) открытым великим английским физиком Исааком Ньютоном.

Не следует думать, что Ньютон открыл этот закон в результате интеллек-

туального озарения или под воздействием всем известного падающего ябло-

ка. Он сам говорил: Я велик лишь потому, что стою на плечах гигантов . И

все же приоритет Ньютона в открытии закона неоспорим.

ЗВТ мог быть открыт ещё в III веке до нашей эры, когда греческие учё-

ные предположили, что морские приливы и отливы на Земле происходят под влиянием Солнца и Луны. В 1596 году немецкий астроном Иоганн Кеплер в

книге Тайна Вселенной смело утверждал, что Луна движется вследствие земного притяжения. Но формула ЗВТ Кеплером предложена не была, хотя в то время физики уже и знали закон обратных квадратов. В 1666 году англий-

ский физик Роберт Гук экспериментально доказал зависимость веса тела от высоты над поверхностью Земли. А в 1680 году Гук сообщил в письме Нью-

тону, что сила взаимодействия между планетами и Солнцем, Землёй и Луной,

обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Но Ньютон сам уже знал об этом и до письма Гука известил (также в виде писем) о своём открытии узкий круг научной общественности.

23

Каким же образом появилась легенда о падающем яблоке? Осенью 1665 го-

да двадцати двухлетний Ньютон окончил Кембриджский колледж и, спасаясь от эпидемии чумы, охватившей Англию, уехал домой в деревню. При доме был сад, в саду – яблоня, были вечерние прогулки в саду, а зрелым яблокам свойст-

венно падать с ветвей на землю. Всё это так, как верно и то, что Ньютона уже давно интересовала загадка падения тел. Известно, что именно в ту осень в одном из писем он скупо сообщил о своей догадке. Но прошло ещё 20 лет, пре-

жде чем добросовестный учёный, проведя скрупулезные расчёты и эксперимен-

ты, решился опубликовать результаты своих исследований в вышедшей в 1687

году книге Математические начала натуральной философии .

Открытый Ньютоном ЗВТ гласит, что любые два тела с массами m1 и m2

притягиваются друг к другу с силой F , прямо пропорциональной произведе-

нию масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между центра-

ми масс этих тел: F G m1 m2 . r 2

Значение гравитационной постоянной G впервые было определено в

1798 г. английским физиком Генри Кавендишем с помощью крутильных ве-

сов. Они состояли из деревянного коромысла 83 см длиной, выбранного так,

чтобы соединить в себе большую прочность с малым весом. Коромысло подвесили в горизонтальном по-

ложении посредством тонкой проволоки длиной 100

см, на каждом из его концов укрепили по свинцовому

шарику диаметром 5 см; для защиты от ветра кру-

тильные весы поместили в контейнер. В одной гори-

зонтальной плоскости с коромыслом разместили два массивных (по сравне-

нию с шариками) шара диаметром 20 см с массами по 158 кг. Вследствие гравитационного притяжения шариков и шаров проволока подвеса немного закручивалась, по углу закручивания рассчитали величину гравитационной постоянной. Её значение оказалось равно: G = 6,673 10-11 (Н м2/кг2).

24

Знание величины G позволило Кавендишу в том же 1798 г. «взвесить» Солнце, Землю и другие планеты, т.е. вычислить значения их масс. Последо-

вали и другие открытия. Внимание учёных привлёк необычный, не согла-

сующийся с расчётами по ЗВТ, характер движения планеты Уран. Для объяс-

нения отклонений траектории Урана от эллиптической орбиты петербург-

ский астроном Лексель предположил наличие неизвестной в то время заура-

новой планеты. Расчёты положения этой планеты были переданы немецкому астроному Галле, который в тот же вечер 23 сентября 1846 года обнаружил в указанной точке неба новую планету - Нептун. Со временем оказалось, что движение Урана нельзя объяснить только влиянием притяжения Нептуна.

Более точные расчёты с помощью ЗВТ позволили по отклонениям траектории Урана определить орбиту девятой планеты Солнечной системы - Плутона.

Отметим, что: 1) ЗВТ справедлив только для материальных точек и сфе-

рических тел (иначе надо выполнить интегрирование по элементарным объ-

ёмам, составляющим тело); 2) радиус действия гравитационной силы .

Для тела массой m на поверхности планеты массой M и радиусом R ЗВТ

Каков же механизм тяготения? На протяжении многих лет Ньютон пы-

тался найти причину тяготения. Он обратил внимание на то, что силы притя-

жения действуют через сотни миллионов километров казалось бы пустого пространства. Интуитивно Ньютон не мог принять этого. В поисках решения Ньютон обращается к предположению о существовании особой среды - эфи-

ра, по которому распространяется действие тяготения. После ряда попыток применить эту теорию он отказался от гипотезы эфира: «Причину свойств тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений. Довольно того, что тяго-

тение на самом деле существует и действует согласно изложенным мной

25

законам, которого вполне достаточно для объяснения движения небесных тел и моря» (ЗВТ позволил объяснить и явление морских приливов и отливов).

Объяснить гравитационное взаимодействие удалось с помощью понятия особого вида материи - гравитационного поля. Что же люди знают о нём? То,

что: 1) оно материально; 2) порождается всеми объектами, имеющими массу,

и действует на все другие материальные объекты; 3) скорость распростране-

ния равна скорости света (экспериментов, подтверждающих этот вывод тео-

рии относительности, пока выполнить не удалось); 4) от него пока не нашли экрана (для этого необходимо иметь тело с отрицательной массой).

Применения ЗВТ: 1) расчёт траекторий полёта небесных тел, космиче-

ских кораблей, снарядов и т.п.; 2) астрономия и космология (описание таких объектов, как «чёрные дыры», квазары и т.п.); 3) расчёты гравитационного отклонения световых лучей у массивных звёзд.

3.2. Ускорение свободного падения

Это ускорение, с которым тело массой m движется в свободном про-

странстве под действием силы тяжести, т.е.: g Fгр m . Но у поверхности

верхности планеты в пустоте все тела (независимо от их массы) под действи-

ем силы тяжести приобретают одно и то же ускорение свободного падения,

величина которого определяется только массой и радиусом планеты.

Для Земли величина этого ускорения равна: g+ 9,81 м/с2. Однако, вслед-

ствие вращения Земли вокруг своей оси, величина g+ варьируется в зависи-

мости от географической широты. С одной стороны, вследствие вращения,

Земля имеет форму не идеального шара, а эллипсоида, сжатого у полюсов

(различие осей эллипсоида 60 км). С другой стороны, вращение порождает центробежную силу, противодействующую Fгр. Поэтому у экватора g+

9,78 м/с2, а на полюсах g+ 9,83 м/с2.

26

В общем случае величина g зависит не только от массы и радиуса планеты

(например, на Венере g 3,6 g+, а на Юпитере g 10 g+), но и от высоты h от места

расположения тела до поверхности планеты: g = G М(R h)2 . С ростом h

значение g уменьшается. Например, для Земли при h=100 км оно уменьшает-

ся на 3%, а на орбите Луны (h = 400000 км) - составляет лишь 0,003 м/с2.

3.3.Вес и невесомость

Уповерхности планеты на все тела со стороны планеты действует гравита-

ционная сила, называемая в этом случае силой тяжести: Fт = m g .

Введём ещё одну физическую величину, отличную от силы тяжести и назы-

ваемую весом тела. Вес тела ( P ) - это сила, с которой тело действует на гори-

зонтальную подставку или нить подвеса. Вес тела, кроме величины g, зависит также от величины ускорения a , с которым движется тело. При ускоренном

движении вдоль g возможны два случая:

Как видим, в случае б), при a = g, получим P Т = 0 (где Т - сила реакции опоры), а это и есть невесомость. Невесомость не означает отсутствие грави-

тационного поля, а только лишь то, что тело не растягивает подвес или не давит на опору. В состоянии невесомости на тело действует только сила тя-

жести Fт, под действием которой тело свободно падает. Для того чтобы ис-

пытать состояние невесомости, достаточно подпрыгнуть и, до тех пор, пока ваши ноги не коснутся земли (пола), вы находитесь в невесомости.

27

3-я космическая скорость ( 3 ) - это скорость, необходимая для того, что-

бы тело вышло за пределы Солнечной системы. В этом случае телу надо со-

общить кинетическую энергию Ek, равную работе A по перемещению его с орбиты Земли (r Rз.о. ) в бесконечность, т.е. в такую точку, где гравитаци-

онным полем Солнца можно пренебречь.

Однако можно воспользоваться тем, что Земля перемещается вокруг Солнца по эллиптической орбите со скоростью 30 км/с, и запускать ракету

(тело) в направлении движения Земли. В этом случае, вследствие сложения скоростей Земли и ракеты, 3 12,4 км/с.

Если же учесть ещё и тот факт, что ракете надо вырваться из гравитаци-

онных «объятий» Земли, то окончательно получим 3 16,7 км/с.

4-я косм. скорость ( 4 ) - это скорость, необходимая для того, чтобы тело вышло за пределы галактики (Млечного Пути). Наблюдения показали, что в Галактике нет звёзд, движущихся с 4 >285 км/с. Значит звёзды, двигавшиеся с большими скоростями, покинули Галактику, поэтому, 4 285 км/с.

3.5. Морские приливы и замедление скорости вращения Земли

Явление приливов и отливов хорошо известно жителям прибрежных рай-

онов океанов и открытых морей. Жителей глубинных районов континентов знают о нём только из книг и кинофильмов. Высота приливной волны в узких проливах и заливах иногда достигает более десяти метров, подъём же почвы континентов составляет всего 50 см (но, так как подъём почвы происходит на площади в многие сотни километров, люди на континентах его не замеча-

ют).

29

Причиной приливов с давних пор считали Луну. Она притягивает воду мирового океана (покрывающую 70% поверхности земного шара), и в результате в океане образуется водяной горб . Вследствие различия угловых скоростей вращения Луны вокруг Земли и Земли вокруг своей оси, горб перемещается по поверхности Земли. Наступая на берег, поднимающаяся вода вызывает приливы, а отступая – отливы. Такая теория проста и естественна, но приводит к противоречию. Выходит, что приливы должны наблюдаться один раз в сутки, в действительности же они бывают каждые 12 часов 25 минут (поскольку Луна вращается в сторону вращения Земли вокруг своей оси с периодом 2713 суток и поэтому появляется над данной точкой Земли каждые сутки на 50 минут позже).

Первую теорию приливов создал Ньютон вскоре после открытия им ЗВТ. Для этого, он использовал понятие силы инерции (см. Лекцию №2). Напомним, что понятие силы инерции вводится в неинерциальных системах отсчёта, коей является вращающаяся вокруг своей оси Земля.

Дело в том, что Земля вращается не только вокруг свой оси и вокруг Солнца, но и …вокруг Луны. Учёт именно этого вращения и позволил Ньютону построить правильную теорию приливов. Представьте себе двух людей разного веса кружащихся в быстром вальсе, держась за вытянутые руки партнёра. Каждый из танцоров при этом движется по окружности своего радиуса, но с общим центром, совпадающим с их общим центром масс. Более массивный партнёр вращается по окружности малого радиуса, но он не неподвижен! Точно также Земля и Луна, притягиваясь друг к другу по закону всемирного тяготения, вращаются в пространстве вокруг общего центра масс С. Вследствие большой массы Земли этот центр находится внутри земного шара, но он смещён по отношению к центру Земли О. Угловые же скорости вращения Земли и Луны вокруг точки С одинаковы.

30

Земля

Перейдём в систему отсчёта, вращающуюся с угловой скоростью . В

такой системе отсчёта Земля и Луна относительно друг друга неподвижны.

Но поскольку эта система неинерциальная, то на каждый элемент массы дей-

ствует не только сила тяготения, но и центробежная сила, которая тем боль-

ше, чем дальше отстоит частица от центра вращения С. Пусть, для простоты,

вода покрывает всю поверхность Земли однородным слоем. Может ли она при этом находится в равновесии? Очевидно, что нет. Луна нарушит такое равновесие, так как появятся дополнительные силы притяжения к Луне и центробежные силы инерции. У поверхности, обращённой к Луне, сила при-

тяжения F1тЛ и центробежная сила F1цб направлены от центра Земли; в ре-

зультате образуется водяной горб А. Но и у дальней поверхности воды воз-

никает аналогичная ситуация. Здесь сила инерции F2цб , больше F1цб (по-

скольку больше расстояние до центра вращения С), а сила притяжения к Лу-

не F2тЛ меньше F1тЛ (из-за большего расстояния до центра Луны). Равнодей-

ствующая этих сил также направлена от центра Земли и обуславливает обра-

зование второго горба В. Равновесию соответствует картина, показанная на рисунке пунктиром.

Конечно это упрощённое объяснение механизма возникновения прили-

вов. В действительности же оказывается, что горбы находятся не на линии,

соединяющей центры Земли и Луны, а несколько смещены в сторону. Проис-

ходит это по следующей причине. Земля, вращаясь вокруг своей оси, увлека-

ет вследствие трения за собой воду в океане. Поэтому по мере поворота

31

рость и сместились на некоторое расстояние). Поэтому точка максимального поднятия воды (вершина горба) и точка на линии центров, где на воду дейст-

вует максимальная сила притяжения к Луне, не совпадают. Образование гор-

ба происходит с некоторым запаздыванием, и он смещается в сторону вра-

щения Земли. А в таком случае, как видно из рисунка, равнодействующие сил, приложенных к горбам, создают вращающий момент, тормозящий вра-

щение Земли вокруг своей оси. Длительность суток постоянно увеличивает-

ся! Впервые это понял английский физик лорд Кельвин.

Лунный тормоз безотказно работает уже многие миллионы лет, и суще-

ственно изменил продолжительность земных суток. У окаменевших корал-

лов, живших в океане около 400 миллионов лет назад, учёные обнаружили структуры, названные суточными и годичными кольцами. Когда суточ-

ные кольца подсчитали, то оказалось, что на каждый год их приходится 395!

Поскольку продолжительность земного года с тех пор не изменилась, то это означает, что в те времена в сутках было только 22 часа! Лунный тормоз продолжает работать и сейчас, увеличивая длительность суток. В конце кон-

цов, время обращения Земли вокруг свой оси сравняется со временем обра-

щения Луны вокруг Земли, и она будет обращена к Луне всегда одной сторо-

ной (точно также как уже сейчас, вследствие приливов, вызванных земным притяжением, Луна всегда обращена к Земле одной стороной).

32