Лекция-5

Лекция № 5

Гидродинамика (механика жидкости)

I. Особенности расположения молекул в жидкости

Жидкость - одно из трёх агрегатных состояний вещества (не считая 4-го состояния, называемого "плазма", в котором пребывает "всего" 99,5% веще-

ства во Вселенной в виде звёзд). Все агрегатные состояния вещества разли-

чаются организацией молекул. В отличие от твёрдого (кристаллического) со-

стояния, характерного строго упорядоченным расположением частиц веще-

ства, в жидкости нет дальнего (распространяющегося на весь кристалл) по-

рядка расположения атомов (молекул). Для организации молекул жидкости характерен виртуальный (т.е. недолговечный) "ближний порядок". Это зна-

чит, что в жидком состоянии вещества молекулы группируются небольшими

"коллективами", причём время жизни молекулы в данном "коллективе" очень непродолжительно (~10-11с). Затем следует переход в другой "коллектив".

Жидкое состояние является промежуточным между твёрдым и газообраз-

ным состояниями вещества. Расстояние между молекулами в газах во много раз превышает размеры молекул; в жидкости молекулы размещены вплотную друг к другу, со средним расстоянием между их центрами порядка размера молекулы (т.е. 10 100 A =(10 100) 10-10 м. Поэтому, плотности жидкостей на несколько порядков больше плотностей газов (при нормальном давлении)

и почти не отличаются от плотностей твёрдых тел; так, плотность металлов при плавлении меняется (уменьшается) в среднем на 3%.

Основные свойства жидкостей:

1) текучесть; объясняется преимущественными перескоками молекул из одного "коллектива" в другой в направлении действия внешней силы (напри-

мер, силы тяжести); если внешние силы скомпенсированы, то перескоки мо-

лекул из одного положения равновесия ("коллектива") в другое происходят с одинаковой частотой и жидкое тело сохраняет свою форму;

49

2) несжимаемость (по сравнению с газами); объясняется достаточно плотным расположением молекул в жидкости. Примеры: а) удар молотом по полому металлическому ядру, заполненному жидкостью поверхность ядра покрывается "испариной"; б) "потение" цилиндров гидравлических машин;

в) при оказании на воду давления в 100 атмосфер (что имеет место в морях на глубине 1 км) её плотность увеличивается всего на 0,5%.

II. Уравнение неразрывности струи

Различают два вида течения реальной жидкости: 1) ламинарное (слоистое),

когда в потоке жидкости её слои, скользя относительно друг друга, не пере-

мешиваются между собой; 2) турбулентное (вихревое), когда в потоке жид-

кости происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание слоёв.

Линии тока – линии, касательные к которым в каждой точке потока совпа-

дают с направлением скорости частиц жидкости; поэтому при ламинарном течении траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока. Свойство ли-

ний тока: они не пересекаются между собой (иначе получилось бы, что в точке их пересечения частица жидкости имеет два направления движения). Значит,

жидкость не проникает сквозь поверхность, образованную линиями тока.

Трубка тока - объём жидкости, ограниченный линиями тока.

Рассмотрим такую трубку тока идеальной жидкости, в произвольном по-

перечном сечении которой скорость частиц жидкости одинакова. Выберем два любых сечения такой трубки тока: S1 , характеризуемое скоростью 1, и

S2 , характеризуемое 2 . Так как идеальная жидкость несжимаема, а её поток неразрывен и не проходит через боковую поверхность трубки, то за время t

через оба сечения пройдут одинаковые объёмы V жидкости:

Выражение ( ) называют уравнением неразрывности струи; оно хорошо применимо и для реальных каналов с вязкой жидкостью.

Вывод: при сужении канала скорость течения жидкости в нём увеличи-

вается, при расширении - уменьшается.

50

III. Уравнение Бернулли (1738 г., Швейцария)

Как и уравнение неразрывности, оно получено для идеальной жидкости,

т.е. абсолютно несжимаемой жидкости, между молекулами которой нет сил притяжения. Выделим в ламинарном потоке жидкости наклонную трубку то-

ка, а в ней область, ограниченную сечениями S1 и S2. Определим изменение механической энергии W , происходящее в этой области за t . За это время

Приравнивая ( ) и ( ), получим:

51

Офизическом смысле слагаемых, входящих в уравнение Бернулли:

2 2 - кинетическая энергия единицы объёма жидкости;

g h - потенциальная энергия единицы объёма жидкости в гравитационном

поле планеты (Земли);

р - потенциальная энергия единицы объёма жидкости, обусловленная силами внешнего давления.

С другой стороны, так как единицы измерения всех слагаемых уравнения Бернулли - Па(скаль), то эти слагаемые можно рассматривать как давления:

2 2 - динамическое, g h- гидравлическое, р - статическое.

Вывод (из уравнения Бернулли): в установившемся потоке жидкости полное давление одинаково в любом поперечном сечении потока.

Замечание: несмотря на то, что уравнения Бернулли и неразрывности струи получены для идеальной жидкости, они хорошо применимы не только к реаль-

ным жидкостям, но и к газам (правда, при дозвуковых скоростях 340 м/с).

Частные случаи применения уравнения Бернулли

1) Горизонтальная труба переменного сечения (h1=h2, S1 S2). В этом случае

уравнение Бернулли принимает вид:

52

Откачиваемый резервуар с газом

4. Подъёмная сила крыла самолёта. В 1904 году русским инженером Н.Е.Жу-

54

воздушного потока складывается со скоростью циркуляции, а под крылом -

вычитается. Различие скоростей воздушной струи под и над крылом порож-

дает разность статических давлений, направленную снизу вверх и создаю-

щую подъёмную силу Fподъём. .

5. Аэрация почвы после вспашки (сопровождается обогащением почвы кислородом). Воздушные горизонтальные потоки над неровной поверхно-

стью земли образуют трубки тока переменного сечения, что приводит к пе-

репадам статического давления и образованию вертикальных вихрей.

6. "Кручёный мяч" в футболе (эффект Магнуса). Удар по мячу наносят в точку, смещённую от его центра, в результате мяч приобретает не только по-

ступательное, но и вращательное движение. Слои воздуха, прилегающие к мя-

чу, увлекаются им. Поэтому справа от мяча результирующая скорость воздуха меньше, чем о , а слева – больше; статическое же давление, в соответствии с уравнением Бернулли, наоборот, справа от мяча больше, а слева – меньше.

Сила внутреннего трения между слоями жидкости выражается эмпирической

природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязко-

стью).

Единица измерения вязкости в СИ - Паскаль-секунда (Па с), в СГС [ ] =

1 П(уаз); причём 1 П = 0,1 Па с. Для жидкостей ~ T 1 . Например, для во-

ды (0o ) 1,8 10 3 Па с, а (90o ) 3,2 10-4 Па с. Особенно сильно вязкость зависит от температуры для масел.

56