Часть 2. Математика правила выполнения контрольных работ

При выполнении данной части контрольной работы надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также содержание задачи не своего варианта, не засчитываются.

2. Решение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номер задачи.

3. Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить данные конкретными из соответствующего номера.

4. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

5. По каждой работе проводится собеседование, после чего выставляется зачет по контрольной работе.

Вариант контрольной работы содержит 5 заданий. Задачи контрольной работы должны выбираться студентами по двум последним цифрам его учебного номера (шифра) в соответствии с таблицей выбора вариантов. В колонке в таблице по вертикали расположены цифры от 0 до 9, но каждая из них – последняя цифра личного шифра. Пересечения вертикальных (А) и горизонтальных (Б) линий определяют номера задач контрольной работы, записанные столбиком. Например, если личный шифр студента имеет две последние цифры 75, то он должен выполнить номера 3, 13, 23, 40, 49.

Таблица выбора вариантов.

Б А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	10 14 22 37 42	9 15 21 38 41	4 20 26 31 48	5 16 27 32 49	3 17 28 33 50	2 18 29 40 47	1 19 30 39 46	8 11 25 34 43	7 12 24 35 44	6 13 23 36 45
1	1 17 22 39 50	2 18 23 40 48	3 19 30 37 47	5 20 29 36 46	6 15 24 33 43	7 14 25 34 42	8 13 26 35 41	9 12 27 32 45	10 11 28 31 44	5 16 21 38 49
2	2 19 30 36 47	1 20 28 37 48	5 17 27 38 49	4 16 26 38 50	9 19 23 31 45	10 14 22 32 44	6 15 21 33 43	7 12 25 34 42	8 11 24 35 41	3 18 29 40 46
3	3 13 30 38 47	4 20 27 37 48	5 19 26 36 49	10 14 23 33 41	9 15 24 32 42	8 16 25 31 43	7 17 22 35 44	6 18 21 34 45	1 11 28 39 50	2 12 29 40 46
4	4 20 26 37 42	5 18 27 38 43	2 17 28 39 50	1 16 29 40 49	3 13 21 35 44	9 12 22 34 45	10 11 23 33 46	7 15 24 32 47	6 14 25 31 48	3 19 30 36 41
5	5 12 28 32 41	6 20 27 33 42	7 13 30 34 43	6 14 26 40 44	4 16 24 35 46	3 17 25 36 47	2 15 23 37 48	10 18 22 38 49	1 19 21 39 45	9 11 29 31 50
6	6 14 25 37 49	4 19 30 39 48	3 17 29 40 47	1 18 28 34 50	5 16 26 33 46	2 20 21 31 42	7 15 22 32 41	10 13 24 33 43	8 12 23 36 45	9 11 27 35 44
7	7 15 26 31 42	10 17 27 38 41	5 18 21 39 46	2 20 22 34 47	1 19 30 37 48	3 13 23 40 49	9 12 24 33 50	4 11 29 36 45	8 16 28 35 44	6 14 25 32 43
8	8 18 25 38 43	9 14 22 39 42	4 20 28 31 49	3 11 30 32 48	2 12 29 40 47	1 13 27 33 50	5 14 26 34 46	10 19 24 36 44	6 17 23 37 45	7 16 21 35 41
9	9 13 23 31 45	8 12 24 35 44	3 17 26 40 49	4 18 27 39 50	5 19 28 38 47	2 20 29 37 48	1 16 30 36 46	6 11 25 34 41	7 15 21 33 42	10 14 22 32 43

Методические указания по выполнению заданий контрольной работы

Задача № 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

.

2 способ (решение с помощью обратной матрицы).

Перепишем систему уравнений в виде AX = B, где

, ,.

Решение матричного уравнения имеет вид X = A^-1B. Найдем обратную матрицуA^-1. Имеем следующий главный определитель системы:

= 15 – 1 – 8 – 4 – 10 – 3 = – 11.

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

, ,,,

, ,,,

.

Тогда обратная матрица имеет вид:

, следовательно,

.

Ответ: x= –1;y= 3; z= 2.

3 способ (метод Гаусса).

Составим расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки. Затем вычтем первую строку из второй и из третьей строк:

, .

Изменив знаки во второй строке и умножив ее на 5, прибавляем к третьей строке. Затем делим последнюю строку на 11:

.

Теперь система уравнений принимает треугольный вид:

.

Из последнего уравнения имеем z= 2; подставляя это значение во второе уравнение, получаемy= 3 и тогда из первого уравнения находимx= –1.

Задача № 2. Построить прямую. Определить ее угловой коэффициент. Составить уравнения нескольких прямых, параллельных ей. Записать уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через начало координат.

Преобразуем заданное уравнение – решим его относительно y, получим уравнение:. Отсюда угловой коэффициент прямой равен: -А/В = -(-4)/2 = 2.

Для построения прямой нужно знать координаты двух точек, удовлетворяющих ее уравнению. Задавая , получим. Задавая, получим. Значит, прямая проходит через точкиА(0; 3) и В(-3/2; 0) (рис. 1). Координаты точек, по которым строится график прямой, удобно записывать в таблицу:

x	0	3/2
y	3	0

Рис. 1

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, т.е. для заданной прямой параллельными, например, будут прямые:

,,и т.д.

Произведение угловых коэффициентов параллельных прямых равно –1. Поэтому угловой коэффициент прямых, перпендикулярных заданной прямой, будет равен –1/2. Если прямая проходит через начало координат, то свободный член в уравнении такой прямой равен 0.

Тогда уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через начало координат, будет иметь вид: .

Задача № 3. Вычислить пределы:

а) .

Здесь предварительно имеем:

,

где и- корни квадратного трехчлена.

1) Числитель ;;;.

2) Знаменатель ;;;.

б) ,

так как

; ;ипри.

Задача № 4.Найти производные функций:

а) ;

пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получим:

.

б) ;

.

Задача № 5.Выполним часть общего исследования функций:

Пример 1.Исследуем характер разрыва следующей функцииимеет разрыв в точке, где она не определена.

;.

Односторонние пределы не существуют, следовательно, имеем разрыв второго рода. Через точку разрыва проходит вертикальная асимптота (рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3

Пример 2.Найти экстремум функции.

Найдем производную . Приравниваем производную к нулюи находим критическую точку. Чтобы найти ординату этой точки, подставимв данную функциюи запишем вершину параболыC(1; 4). Ось симметрии проходит черезCпараллельно оси(рис. 3). Пересечение параболы с осью:;, т.е.A(0; 5). Симметричная ей точкаA₁(2; 5).

Пример 3.Найти точки экстремума функции и интервалы монотонности функции.

Находим первую производную:

и приравниваем ее к нулю. Так как, тои. Критическая точкаделитна два интервала монотонности,при переходе через точкуменяет знак сна. Следовательно,- точка минимума.