сборникДУ- ЕП

Функция f (x, y), определенная в области G, удовлетворяет в G условию Липшица относительно y, если

существует число L > 0, такое что для любых двух точек (x,y), (x,z) из G выполнено неравенство f (x, y) − f (x,z) ≤ L y − z ;

существует число L > 0, такое что f (x, y) ≤ L;

существует число L > 0, такое что f (x, y) ≤ L y .

Задание 37. Верно ли, что

y'= f (x, y),

решение задачи Коши y(x0 ) = y0 геометрически можно интерпрети-

ровать как нахождение интегральной кривой, имеющей в каждой точке заданный угловой коэффициент, и проходящей через точку (x0 , y0 ).

Задание 38. Укажите правильный ответ. Сколько решений имеет задача y'= x2 + 2x −1, y(0) = 1

бесконечное множество,единственное решение,n решений,

(n-1) решение.

Задание 39. Укажите правильный ответ. Сколько решений имеет зада-

ча Коши y"= xSIN x, y(0) = 0, y'(0) = 1 ?

два решения,одно решение,

не имеет решений,бесконечное множество решений.

Задание 40. Выберите верное утверждение:

через особую точку ОДУ y'= f (x, y) либо не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит по крайней мере две интегральные кривые;

через особую точку ОДУ y'= f (x, y) проходит единственная интегральная кривая;

через особую точку ОДУ y'= f (x, y) проходит бесконечное множество интегральных кривых;

нет верного утверждения.

Задание 41. Выберите верное утверждение

11

нет,

устойчивость не определяется.

Задание 47. Будет ли особая точка уравнения y'= 4x + 5y устойчива? x + 2y

Задание 48. Уравнение Эйлера можно решить при помощи подстановки

y = tx

y = p(x)

y'= p(y)

y = eτ

Задание 49. Сколько линейно независимых первых интегралов имеет

Задание 51. Определите тип уравнения первого порядка с разделяющимися переменными однородное линейное

в полных дифференциалах

x − y 1) y'= x + y

2) (2x + y)dx + (x − ey )dx = 0

3) y'= x + y y

4) y2dx + 2xydy = 0

Задание 52. Поставьте в соответствие пары:

13

дифференциальное уравнение первого порядка – его тип

Задание 53. Укажите подстановку, при помощи которой решается урав-

нение y'− y = x

x

y = tx

y = uv

y = p(x)

Задание 54. Поставьте в соответствие уравнению способ решения

Задание 55. Метод Бернулли основан на использовании подстановки

y = tx

y = uv

y = zm

Задание 56. Укажите правильный ответ. Какое из уравнений является уравнением в полных дифференциалах

2xydx + (x2 − y2 )dy = 0

(3x − y2 )dy − ydx = 0

Задание 57. Укажите правильный ответ. Какое из уравнений можно решить подстановкой y = tx

xy'−2y = 2x4

(y + x)2 = y'

14

y'= x+ y x− 2y

Задание 58. Какое из уравнений является линейным уравнением первого порядка

y'= yx+ x

(x + 1)y'= x

xdy = x −1y2dx

Задание 59. Методом Бернулли можно найти решение

уравнения в полных дифференциалах

линейного уравнения первого порядка

однородного уравнения

Задание 60. Какое из уравнений является уравнением с разделяющимися переменными?

y'= yCOS x

y'x + y = y2 COS x

x(y + x)dy − exdx = 0

Задание 61. Какое из уравнений является уравнением в полных дифференциалах?

y2dx + 2xydy = 0

ydx + 2xdy = 0

2y3dx − 3xy2dy = 0

Задание 62. Какое из уравнений является уравнением Бернулли?

xy'−2y2/3 = 2x4 y

(y + x)2 = y'−2xy

dy + (4x − x2 )dx = 0

Задание 63. Какое из уравнений является линейным уравнением первого порядка?

dy − (x + y)dx = 0

y'= y2x + x

(x + 1)y'= x

15

xdy = x −1y2dx

Задание 64. Сколько решений имеет задача { y"−y'= 2x + 1, y(0) = 0}

бесконечное множество,

одно решение,

два решения,

не имеет решений.

Задание 65. Выберите правильный ответ

Уравнение y'+ y = x2 + 1 нужно решать подстановкой x

y = u v

y = tx

y = p(x)

Задание 66. Определите тип уравнения первого порядка

–с разделяющимися переменными

–однородное

–приводящееся к однородному

–линейное

–уравнение Бернулли

1)(x +1)dy + ydx = (x +1)dx

2)y'x3 = yx2 − y2

3)xydy − (y2 −1)dx = 0

4)(x + 2y)dx − xdy = 0

5)dy = (COS x + y)dx

6)y'= yx − y2 / 3

7)dy + COS ydx = xSIN ydy

y 2

8)y'= +1

x

9)(x +1)dy + ydx = (x +1)exdx

x + y

Задание 67. Сколько особых точек имеет уравнение y'= x − y ?

16

t′x + t = x2t + x2t2 + x2 = t + t2 +1, x2

t′x = t2 +1.

Разделим переменные и проинтегрируем:

∫ t2dt+ 1 = ∫ dxx ,

arctg(t)= LN x + C где t = y . x

Пример 3. Решить y'= SIN y + x .

COS y

Решение. Перепишем уравнение COS yy'= SIN y + x и заметим, что

COS yy'= (SIN y)'. Сделаем замену переменной z(x) = SIN(y(x)), получаем z'−z = x - линейное уравнение первого порядка относительно функции

z. Решим методом Лагранжа, а именно,

запишем соответствующее однородное уравнение

z'−z = 0,

dz = dx, z

LN z = x + c ,

zодн = cex .

Будем искать решение неоднородного уравнения в виде zн = c(x)ex . Чтобы найти неизвестную функцию c(x), подставим

решение в уравнение

c'(x)ex + c(x)ex − c(x)ex = x , c'(x) = xe−x ,

c(x) = ∫ xe−xdx = −(x +1)e−x + c1.

Получено решение z = (− (x +1)e−x + c1)ex = c1ex − x −1. Ответ: y = ARCSIN(c1ex − x −1).

18