- •В.С. Матющенко
- •Линейные электрические цепи постоянного и однофазного синусоидального токов
- •Введение
- •1. Линейные электрические цепи постоянного тока
- •1.1. Электрическая цепь и ее элементы
- •1.2. Закон Ома для участка цепи с эдс
- •1.3. Расчет сложных электрических цепей постоянного тока
- •1.3.1. Метод уравнений Кирхгофа
- •1.3.2. Метод узловых потенциалов
- •1.3.3. Метод контурных токов
- •1.3.4. Метод наложения
- •1.3.5. Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений
- •1.4. Пассивный и активный двухполюсники. Теорема об активном двухполюснике
- •1.5. Метод эквивалентного генератора
- •1.6. Линия электропередачи постоянного тока
- •2. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
- •2.1. Закон электромагнитной индукции
- •2.2. Получение синусоидальной эдс. Характеристики синусоидальных величин. Обозначения в цепях переменного тока
- •2.3. Действующее значение переменного тока
- •2.4. Представление синусоидальной функции времени вращающимся вектором. Векторные диаграммы
- •2.5. Основные сведения о комплексных числах
2.5. Основные сведения о комплексных числах
Комплексным числом называется выражение вида
, (2.6)
где – обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; – мнимая единица.
Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re, b = Im. Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.
Г
Рис.
2.8. Вектор на комплексной плоскости
На рис. 2.8 с = – модуль комплексного числа, равный длине вектора, а = arg – аргумент комплексного числа. Так как а = c cos, а b = c sin, то = c (cos + j sin) – тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера последняя преобразуется в показательную форму . Применяется еще и полярная форма , в самой простой форме задающая модуль и аргумент комплексного числа.
Свойства мнимой единицы (рис. 2.9):
Рис.
2.9. Единичный вектор
в
комплексной плоскости
,
,
и т.д.,
.
Два комплексных числа и называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 2.10):
Рис. 2.10. Сопряженные
комплексные числа
=.
Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси.
Действия над комплексными числами.
Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме:
=, т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых:а = а1+а2, b = b1+b2. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.
Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:
+ =.
Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:
(2.7)
где с = с1 с2, =1+2;
,
где , =1 – 2 .
Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?
Изобразим на комплексной плоскости два вектора: 1 – первый сомножитель и – результирующий (рис. 2.11). Последний получается умножением 1 на комплексное число с2е j2. На рис. 2.11 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на 2.
Р
Рис. 2.11. Перемножение
комплексных чисел
При умножении вектора на комплексное число ае j, вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол .
Т
Рис.
2.12. Умножение вектора на j
Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа:
,
или
Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1
=
.
При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель: