3.5. Сложная цепь с взаимной индуктивностью

Пусть задана двухконтурная цепь, содержащая индуктивно связанные элементы (рис. 3.10). Для ее расчета необходимо составить три (по числу неизвестных токов) уравнения по законам Кирхгофа. Первое уравнение, для верхнего узла, затруднений не вызывает:

Рис. 3.10. Сложная цепь с взаимной индуктивностью

Еще два уравнения напишем по второму закону Кирхгофа для контуров, обозначенных закругленными стрелками I и II, показывающими направление обхода контура при написании уравнений. Но предварительно необходимо определить вид включения катушек. Для каждой их пары одноименные зажимы отмечены своими значками. Предположим, что это начала обмоток.

Первая и вторая катушки, одноименные зажимы которых отмечены звездочками, включены встречно, так как в первой ток протекает от начала к концу, а во второй от конца к началу. Поставим для памяти рядом со стрелкой буквув (встречное вклю­чение). У второй и третьей катушек начала обмоток обозначены точками. В обеих катушках токи протекают одинаково относительно этих зажимов – от начала к концу, значит катушки включены согласно; ставим рядом со стрелкой буквус(согласное включение). Аналогично поступаем и с остальными катушками.

Записываем уравнение для первого контура:

(3.4)

Дадим некоторые пояснения. Напряжение на зажимах катушки, индуктивно связанной с другой катушкой, складывается из напряжения самоиндукции () и напряжения взаимной индукции (). При согласном включении эти напряжения имеют одинаковые знаки, при встречном – разные. Для лучшего восприятия индексы у буквы M поставлены так, чтобы они указывали катушку, создающую магнитное поле (первый индекс), и катушку, в которой наводится ЭДС (второй индекс). Например, обозначение показывает, что мы определяем влияние третьей катушки на вторую. Рассмотрим составляющие напряжения на элементе . В уравнении (3.4) они объединены фигурной скобкой . Первое слагаемое – это напряжение самоиндукции. Оно записано с минусом, так как при обходе контура мы идем по этому элементу против тока. Второе слагаемое – это напряжение, наведенное на зажимах второй катушки магнитным потоком, создаваемым током первой катушки. Его знак (плюс) из-за встречного включения противоположен знаку напряжения самоиндукции. Напряжение, которое наводится во второй катушке со стороны третьей (), имеет тот же знак (минус), что и напряжение самоиндукции, так как вторая и третья катушки соединены согласно.

Приводим уравнение, записанное для второго контура:

–

(3.4)

3.6. Эквивалентная замена индуктивных связей

Имеется возможность избежать составления таких сложных уравнений, как в предыдущем подразделе. Для этого нужно произвести так называемую развязку электрической цепи, заменив схему с индуктивно связанными элементами эквивалентной схемой без индуктивных связей. Делается это по следующему правилу: если два элемента и, имеющие взаимную индуктивность,присоединены к узлу электрической цепи одноименными зажимами, то при переходе к эквивалентной схеме к этим элементам добавляется –M, а в третью, отходящую от узла, ветвь включается M(рис. 3.11,а).

Если характер подключения катушек меняется, т.е. они присоединяются к узлу разноименными зажимами, то в эквивалентной схеме знак перед M меняется на противоположный (рис. 3.11, б).

Для доказательства приведенных утверждений необходимо в каждой паре схем произвольно указать направления токов (одинаковые для одной и той же ветви) и записать выражения напряжений и . Для обеих схем они оказываются одинаковыми, что подтверждает их эквивалентность.

а)

б)

Рис. 3.11. Эквивалентная замена индуктивных связей

Пример 3.5. Требуется произвести развязку схемы, изображенной на рис. 3.10.

Р е ш е н и е. Ограничимся рассмотрением только верхнего узла. Пусть катушки, присоединенные к нему, имеют следующие параметры:

Рис. 3.12. Узел электрической цепи после развязки

После развязки схема приобретает вид, показанный на рис. 3.12.

Эквивалентные индуктивности ветвей определяем с использованием сформулированного правила:

Знак минус перед последней индуктивностью говорит о том, что для физической реализации эквивалентной схемы в третью ветвь необходимо включить не катушку, а конденсатор, емкостное сопротивление которого равно индуктивному сопротивлению эквивалентной третьей ветви.

Пример 3.6. При какой частоте в цепи, представленной на рис. 3.13, а, наступит резонанс напряжений? Числовые значения параметров цепи:

а) б)

Рис. 3.13. Схема до (а) и после (б) развязки

Р е ш е н и е. Заменяем заданную схему эквивалентной без магнитной связи (рис. 3.13, б) и находим ее индуктивность:

.

Из условия резонанса напряжений (wL = ) определяем искомую частоту:

Гц.