41. Интервальные оценки числовых характеристик случайной величины. Доверительная вероятность. Доверительный интервал.

Пусть сделана выборка объема n. Для оценки распределения СВ Х генеральной совокупности применяются точечные оценки параметров распределения генеральной совокупности и интервальные оценки.

Будем предполагать, что пр-к в ген. сов-ти распр. по норм. закону и считаем, что наша оценка МХ несмещенная. Тогда М(Х с крышкой)=х_0. Тогда, восп. формулой

Из формулы след., что неизв. вел. ср.ген.выборки х₀ содержится в инт-ле () с вер-тью, равной р, где р вычисл по формуле:

- доверительная вер-ть. Восп. таблицей значений ф-ии Лапласа (Ф), по известной вер-ти можно опр. значение аргумента ф-ии, и рассчитать величину .

Этот инт-лназ. доверительным для средней. Как правило, в задачах дов. вер-ть задана и необх. найти довер. инт-л. Обычно на практике доверительная вер-ть берется на Ур-не (0,95; 0,99; 0,999)

Т.о. интервальной оценкой (доверительным интервалом) для оценки некоторого параметра  (тэта), например , называется интервал, в котором с заранее заданной вероятностью Р=1- содержится оцениваемый параметр.

42. Основные понятия регрессионного и корреляционного анализа. Функцион. зависимость (y=f(x)) м-ду величинами X и Y закл. в том, что каждому значению одной переменной соответствует вполне опред. значение другой. Статистической наз.т зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности,статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой. В этом случае стат. зав-ть наз. корреляционной зав-тью.Корреляционной (или регрессионной) зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой. Условное мат. ожидание Mx (Y) СВ Y есть функция от x : Mx (Y) f (x) , которую называют функцией регрессии Y на X . Корреляц. зависимостью Y от X называется функц. зависимость условной средней x от x . Уравнение y f xназ. уравн-ем регрессии Y на X . Функция f xназ. регрессией Y на X , а ее график – линией регрессии СВ Y на СВ X . Осн. задачи теории корреляции: 1. Установл. формы корреляционной связи; 2. Оценка тесноты корреляционной связи Y от X , кот. оценивается величиной рассеяния значений Y около Yx. Большое рассеяние означает слабую зависимость Y от X либо вообще отсутствие таковой. Малое рассеяние указывает на существование достаточно сильной зависимости Y от X . Важной с точки зрения приложений является ситуация, когда обе функции регрессии f (x),yявляются линейными. Тогда говорят, что СВ X и Y связаны линейной корреляц. зав-стью (линейной корреляцией).

44. Коэффициент линейной корреляции и его свойства. - корреляционный момент (ковариация), где K(X ,Y ) M{[X M(X )][Y M(Y)]} Две случайные величины X и Y называются коррелированными, если их коэф-т корреляции отличен от нуля. СВ X и Y называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю. выборочный коэф. коррел. Свойства коэф-та корреляции: 1. Коэф-т корреляции принимает значения на отрезке [1;1], т.е. 1 1 в 1r 1; 2.Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и то же число или в одно и то же число раз, то величина выборочного коэф-та корреляции не изменится. 3.При 1 r = ±1 корреляц. связь представл. линейную функц. зависимость. При этом линии регрессии Y на X и X на Y совпадают, все наблюдаемые значения располагаются на общей прямой. 4.Если с ростом значений одной СВ значения второй возрастают, то 0 в r > , если убывают, то 0 в r < . 5.При 0 в r = линейная корреляц. связь отсутствует, групповые средние переменных совпадают с их общими средними, а линии регрессии Y на X и X на Y параллельны осям координат. Выборочный коэф-т корреляции r является оценкой генерального коэф-та корреляции

45. Стат. гипотеза. Стат. критерий проверки гипотез. Ошибки 1 и 2 рода. Критич. область. Стат. гипотеза – любое предпол. относит. генер. сов-ти, кот. проверяется путем анализа данных выборки. Выдвинутую гипотезу наз. основной или нулевой Но. наряду с Но рассм. противоречащую ей гипотезу Н1, кот. наз-ся альтернативной или конкурирующей. Выдвинутая гипотеза должна быть проверена стат. методами. По итогам проверки гипотеза либо принимается, либо отклоняется. При этом могут быть допущены ошибки 2 родов: ошибки 1 рода сост. в том, что будет принята гипотеза Н1, в то время как верной явл. гипотеза Но. Вер-ть ошибки 1 рода обозн.и ее наз. уровнем. Ошибка 2 рода сост. в том, что будет принята гипотеза Но, в то время как верной явл. гипотеза Н1. Вероятность ош. 2 рода обозн.. Стат. критерием наз. СВ К, кот. служит для проверки нулевой гипотезы. Множ-во всех возм. значений критерия К разбивается на 2 непересек. подмнож-ва – критич. область (мн-во значений критерия, при кот. нулевую гипотезу отвергают) и обл. принятия гипотезы (мн-во значений критерия, при кот. нулевую принимают). По данным выб-ки выч-ся значение К наблюдаемое, кот. наз. наблюдаемым знач-ем. Правило проверки стат. гипот.:если значение К набл. попадает в обл. принятия, то Но приним-ся; если значен. К набл. попадает в критич. обл., то гип. Но отверг-ся. Мощностью критерия наз. вер-ть того, что будет принята конкурир. гипотеза Н1 если она явл. верной. Если- вер-ть ошибки 2 рода, то мощн-ть критерия = 1-

46. Проверка гипотезы о математическом ожидании нормально распределенной случайной величины. Пусть имеется нормально распр. СВ ,, опред. на мн-стве объектов некот. генер.сов-сти. Известно, что D =  ². Мат. ожидание M неизвестно. Допустим, что M = a, где a – некот. число. Будем считать также, что имеется другая информация, что M = a₁, где a₁ > a. I. Выдвиг. нулевую гипотезу H₀: M = a при конкур. гипотезе H₁: M = a₁. Делаем выборку объема n: x₁, x₂,..., x_n . В основе проверки лежит тот факт, что случ. вел-на (выбор. средняя) распр-на по норм. закону с дисперсией ²/n и мат.ож-ем, равным a в случае справ-сти H₀, и равным a₁ в случае справ-сти H₁.Очевидно, что если вел-на оказ. достаточно малой, то это дает основ-е предпочесть г-зуH₀ г-зе H₁. При дост-но большом знач-и более вероятна справ-сть гипотезыH₁. В кач. стат. критерия выбир. СВ. Z = (x с чертой – а)*(корень из n)/(ср. кв. откл-е), распр. по норм. закону, причем Mz = 0 и Dz = 1 в случае справ-сти гипотезы H₀. Если справедл. гипотеза H₁, то Mz = a* = ( a₁ – a )/, Dz = 1.Если вел-на , получ. из вы­бор. данных, относ-но велика, то и вел-наz велика, что явл. свид-вом в пользу г-зы H₁. Относ-но малые знач-я приводят к малым знач-ямz, что свид-вует в пользу г-зы H₀. Отсюда следует, что д. б. выбрана правостор. крит. область. По принятому уровню знач-сти  (напр.,  = 0,05), используя то, что СВ z распр-на по норм. закону, опр. знач-е K_кр из ф-лы  = P(K_кр < z <) = () – (K_кр) = 0,5 – (K_кр).Отсюда Ф(К_кр)=(1-2альфа)/2. Если в-на z, получ. при выбор. знач-и , попад. в область принятия г-зы (z < K_кр), то г-за H₀ приним. Если в-на z попад. в крит. область, то г-за H₀ отверг. II. Если в предыд. задаче поставить др. условие: H₀: M = a; H₁: M = a₁ , a₁ < a, то здесь придется рассм. левостор. крит. область. Здесь a* = ( a₁ – a )/, а вел-на K_кр опр. из ф-лы  = P(– <z< K_кр) = ( K_кр) – (–) = ( K_кр) + 1/2.Используя формулу –( K_кр) = ( –K_кр), получаем: ( –K_кр)=(1-2альфа)/2. Знач-я z, вычисл. по выбор. данным, превыш. K_кр, согласуются с г-зой H₀. Если в-на z попад. в крит. область (z < K_кр), то г-зу H₀ следует отвергнуть, считая предпочт. г-зу H₁.III. Рассмотрим теперь такую задачу: H₀: M = a; H₁: M  a. В данном случае следует рассм. двустор. крит. область. Крит. знач-е K_кр опр-ся с пом. соотн-я P(–K_кр < z < K_кр) = 1 –  = ( K_кр) – ( – K_кр) = 2( K_кр) .Из этого соотн-я следует: ( K_кр) = )=(1-альфа)/2.

47. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормально распределенных случайных величин. Предполож., что имеются случ. выборки х₁, х₂, ..., х_п и y₁, y₂, ..., y_m знач-й двух независ. нормально распред. СВ  и  и требуется проверить гипотезу  о рав-ве мат. ожиданий этих СВ. (а) Если известно, что дисперсии случайных величин  и  равны,  (значение  неизвестно), то можно получить след. объедин.несмещ. оценку для В этом сл. s²/n и s²/m будут несмещ. оценками для дисперсии выборочных средних  и, а сумма s²/n+s²/m – несмещ. оценкой для дисперсии разности средних . Соотв-но, статистика как можно показать, будет иметь t-распред-е с n+m-2 степенями свободы. Крит. область уровня  для проверки гипотезы  против двустор. альтернативы  будет состоять из двух бесконечных полуинтервалов  и , против одностор. альтернативы  - из полуинтервала  и против альтернативы  - из полуинт-ла , где , , ,  обознач. соотв. квантили t-распред-я с n+m-2 степенями свободы.

(б) Если нет оснований считать, что дисперсии СВ  и   равны, то для каждой из дисперсий  и  вычисл. своя оценкаи соотв-нно модифиц. статистика критериякоторая, как можно показать, имеет t-распред-е с числом степеней свободы, равным целой части от 1/k, где k выражается след. формулой

48. Критерий согласия Пирсона о предполагаемом законе распределения случайной величины. 1.) Исходя из теоретического (предполагаемого закона распределения), находим вероятности р­_i попадания СВ в каждый из заданных интервалов таблицы, например в случае нормального распределения .

2.) Вычисляем значение ² соответствующее опытным данным по формуле:

3.) По табл. критических точек ², учитывая число степеней свободы k=m-r-1, где m – число интервалов, r – число оцениваемых параметров в распределении (для нормального распределения r=2) – находим по таблице ²_крит.

4.) Если ²_{вычисленное}<²_крит., то гипотеза о нормальном распределении принимается. Если же ²_{вычисленное}>²_крит., гипотеза отвергается.

Замечание: При нахождении ²_крит. учитывается уровень значимости критерия, который обозначается (q). Уровень значимости критерия для технических задач обычно принимается =0,05. Он означает вероятность того, что событие не наступит при данных условиях.

49. Критерий согласия Колмогорова о предполагаемом законе распределения случайной величины. 1.) По результатам n – независимых опытов найти эмпирическую функцию распределения: F^*(x)

2.) Определить максимум модуля: |F^*(x)-F(x)| во всех точках.

3.) Вычислить выборочную статистику .

4.) Сравниваем значения _{выборочн.} с критическим значением , определенным по табл. 5.) Если _{выборочн}<_крит. – гипотеза принимается, если _{выборочн}>_крит. – гипотеза отвергается.

50. Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ Дисперсионный анализ примен.для исслед-я влияния 1 или неск.кач. переменных на 1 завис.колич.пер-ную . В основе дисперс. анализа лежит предпол-е о том, что одни переменные могут рассматриваться как причины (независ. переменные): , а другие как следствия (завис.переменные). Независ. переменные наз. иногда регулир. ф-рами именно потому, что в эксперименте иссл-ль имеет возм-сть варьировать ими и анализ-ть получающийся рез-т.Осн. целью дисперс. анализа явл. исслед-е значимости различия между средними с пом. сравнения (анализа) дисперсий. Раздел-е общей дисперсии на несколько источников, позволяет сравнить дисперсию, вызванную различием между группами, с дисперсией, вызванной внутригрупп. изменчивостью. При истинности нулевой гипотезы (о равенстве средних в неск. группах наблюдений, выбранных из генер. совок-сти), оценка дисперсии, связанной с внутригруп. изменчивостью, д. б. близкой к оценке межгрупп. дисперсии. Сущность дисп. анализа закл. в расчленении общей дисперсии изуч. признака на отд. компоненты, обусловл. влиянием конкр. ф-ров, и проверке гипотез о значимости влияния этих ф-ров на исслед. признак. Сравнивая комп-ты дисперсии друг с другом посредством F—критерия Фишера, можно определить, какая доля общей вариативности результат. признака обусловлена действием регулир. ф-ров. Исходным мат-лом для дисп.анализа служат данные исслед-я 3 и более выборок: , которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными. По кол-ву выявляемых регулир. ф-ров дисп. анализ м. б. однофакт. (при этом изуч. влияние 1 фактора на рез-ты эксперимента), двухфакт. (при изучении влияния двух факторов) и многофакт. (позволяет оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодействие). Дисп. анализ относится к группе параметрич. методов и поэтому его следует применять только тогда, когда доказано, что распред-е явл. нормальным. Дисп. анализ исп., если зависимая переменная измер. в шкале отношений, интервалов или порядка, а влияющие переменные имеют нечисловую природу (шкала наименований).