5.Теорема сложения вероятностей несовместных событий и ее следствия.

Напомним, что события А и В называются несовместными, если появление события А исключает появления события В. Др словами эти события не имеют общих исходов.

Теорема Р( А+В)=Р(А)+Р(В)

Док-во:

По определению полной группы А1+А2+…+Аn=Ω

Р(Ω)=1

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А)+Р(А^-)=1

Р(А1+А2+…+Аn)= Р(А1)+…+Р(Аn)

7. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Напомним, что события А и В называются совместными, если появление события А не исключает появления события В. Др словами события А и В могут наступать одновременно.

Вер-ть от суммы совместных событий является следствием из теоремы сложения вер-тей несовместных событий и находится по формуле :

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

4.Элементы комбинаторики: размещение, перестановки и сочетания. Комбинаторика- раздел матем изучающий расп. объектов в опр. порядке и способы подсчета числа такого расположения.

При вычисл вер-ти по классич формуле необх уметь подсчитывать общее число исходов. Для такого подсчета исп след Эл-ты комбинаторики:

1. 2 основных правила:

1) правило суммы. Если объект А можно выбрать m способами, А другой объект В можно выбрать n способами то выбрать А+В (m+n) способами

2) Осн.принцип комбинаторики Если есть действие, сост из неск этапов, а каждый этап содержит опр. число вар-тов, то общ число действий равно произведению числа вар-тов на число этапов.

2.ПЕРЕСТАНОВКИ

Пусть имеется n разл. эл-тов. Тогда любой упорядоченный набор из этих эл-тов называется перестановкой. Общ. число перестановок вычисл. по формуле

P_n=n!

С повторениями:

Pm=(m1,m2,m3,…,mk)=m!/m1!m2!...mk!

3.РАЗМЕЩЕНИЯ:

Пусть имеется n разл эл-тов. Из этих n эл-тов произвольным образом выбирается k эл-тов, при этом порядок выбора эл-тов важен. Тогда общее число таких выборов опр по формуле:

А^k_n=n(n-1)(n-2)x…x(n-k+1)=n!/(n-k)!

С повторениями:

А^k_n =

4.СОЧЕТАНИЯ

Пусть имеется n разл эл-тов. Из этих n эл-тов произвольным образом выбирается k эл-тов, при этом порядок выбора эл-тов не важен. Тогда общее число таких выборов опр по формуле:

C^k_n =n!/k!(n-k)!

С повторениями:

C^k_n = C^k_n+k-1

Св-ва сочетаний:

1. Cn⁰=Cnⁿ=0 ( 0!=1 по соглашению)

2. Cn^k=Cn^n-k

3. Cn¹=Cn^n-1=n

8. Вероятность появления хотя бы одного из n событий, независимых в совокупности.

Пусть в р-те испытания появилось n событий независимых в совокупности, либо некоторые из них, причем вер-ти появления каждого из событий известны. Для того, чтобы найти вер-ть того, что наступит хотя бы одно из событий исп. след теорема:

Вероятность появления хотя бы одного из n событий, независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

P(A)=1-q1q2q3…qn

Следствие: Если события A1,A2…An имеют равные вер-ти p(A)=p, то вер-ть наступления хотя бы одного из них равна:

P(A)=1-q^n

6.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

События А и В наз. независимыми , если вер-ть наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет. (и наоборот для зависимых)

Пусть имеются два зависимых события А и В. Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло называется усл. вер-тью события В и определяется равенством

P(А/В)=P(АВ)/P(В), где P(В)≠0

Сформ. теорему умножения вер-тей. Пусть даны зав. события А и В. Вер-ть произведения событий А и В равна произведению вер-тей одного из них на вер-ть другого, вычисл при усл, что первое событие наступило:

P(AB)= P(A)xP(B/A).

Равенство позволяет решать задачи причем оно справедливо не только для 2-х, а и для n событий. В этом случае P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)

Следствие:Для независимых событий теорема умножения примет вид: P(AB)=P(A)P(B)