- •Методические указания практическим занятиям
- •Практическое занятие №1 Формула Коши
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №2 временные и частотные характеристики автоматических систем (ас)
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №3 структурные схемы автоматических систем (ас)
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №4 теория устойчивости движения
- •Краткие теоретические сведения
- •Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению
- •Критерий Гурвица
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №5 Уравнение Эйлера
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №6 Уравнение Эйлера-Пуассона
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №7 Вариационные задачи на условный экстремум
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №8 Принцип максимума Понтрягина
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №9 Динамическое программирование
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Билиографический список
- •Методические указания к практическим занятиям по дисциплине
Задачи для самостоятельного решения
1. Эффективность функционирования управляемого процесса оценивается критерием вида :
,
где – частота,– траектория функционирования процесса. Найти явный вид траектории,, которая доставляет экстремум данному критерию.
2. Функционирование управляемого процесса описывается уравнением вида, для которого заданны следующие граничные условия:
.
Требуется найти такую траекторию и такой закон изменения управления, при котором минимизируется критерий.
3. Функционирование управляемого процесса описывается уравнением –, где–const, при заданных начальных условиях. Требуется найти такую траекторию и такое управление, при котором минимизируется критерий.
4. Движение управляемого объекта описывается уравнением вида
,
где –const, – траектория,– управление. Начальные условия имеют следующий вид:Требуется найти такую траекториюи такое управление, при которых критерийдостигает максимума.
Практическое занятие №7 Вариационные задачи на условный экстремум
Цель занятия: Решение задачи об оптимальном управлении, в случае функционала, зависящего от нескольких функций, связанных между собой дополнительным условием.
Краткие теоретические сведения
В задачах данной темы требуется найти кривые, доставляющие экстремум критерию эффективности и при этом, помимо граничных условий эти кривые должны удовлетворять некоторым уравнениям связи.
Общая постановка задачи следующая: найти траекторию и управление, которые доставляют экстремум критерию эффективности:
(7.1)
при граничных условиях
, (7.2)
(7.3)
и являются решениями уравнений связи
. (7.4)
Задача (7.1)-(7.4) называется задачей Лагранжа.
Решение. Введем новый критерий эффективности
(7.5)
где,
вектор, компонентами которого являются неопределенные функции, называемые множителями Лагранжа.
С помощью этих множителей задача на условный экстремум критерия (7.1) сводится к задаче на безусловный экстремум критерия (7.5), которая решается с использованием уравнений Эйлера.
Пример решения задачи. Движение управляемого объекта описывается системой вида:
где – траектория движения управляемого объекта;– управление, воздействующее на систему.
Найти, которое доставляет минимум критерию вида:
(критерий энергетических потерь системы), и закон изменения координат:
Решение. Составим вспомогательный функционал:
Составим систему уравнений Эйлера:
,
т.е. окончательно система уравнений Эйлера будет иметь вид
Закон изменения координат:
Задачи для самостоятельного решения
1. Движение управляемого объекта описывается системой уравнений вида:, где– траектория управляемого процесса,– управление, действующее на объект. Требуется найти оптимальное управление, минимизирующее критерий эффективностии закон изменения координат управляемого процесса:. Задачу решить с использованием уравнений Эйлера-Лагранжа.
2. Функционирование системы описывается системой уравнений вида,, где– управление. Требуется найти оптимальное управление, минимизирующее критерий эффективностиI=и закон изменения координат:,.
3. Считается, что в первом приближении система управления слежением летящего самолета описывается дифференциальными уравнениями вида:
,
где– угол поворота;– угловая скорость;– ускорение. Требуется выбрать оптимальный закон изменения, таким образом, чтобы энергетические потери системыбыли минимальными.