- •Методические указания практическим занятиям
- •Практическое занятие №1 Формула Коши
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №2 временные и частотные характеристики автоматических систем (ас)
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №3 структурные схемы автоматических систем (ас)
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №4 теория устойчивости движения
- •Краткие теоретические сведения
- •Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению
- •Критерий Гурвица
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №5 Уравнение Эйлера
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №6 Уравнение Эйлера-Пуассона
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №7 Вариационные задачи на условный экстремум
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №8 Принцип максимума Понтрягина
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Практическое занятие №9 Динамическое программирование
- •Краткие теоретические сведения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Билиографический список
- •Методические указания к практическим занятиям по дисциплине
Задачи для самостоятельного решения
Используя теорему Ляпунова об устойчивости по первому приближению, исследовать на устойчивость нулевое решение следующих систем:
Используя критерий устойчивости Гурвица, исследовать на устойчивость нулевое решение следующих уравнений:
а)
б) ;
в)
г)
При каких значениях будет устойчиво нулевое решение уравнений:
а) ;
б)
в)
При каких значениях ибудет устойчиво нулевое решение уравнений:
а) ;
б) .
Используя критерий устойчивости Михайлова, исследовать на устойчивость нулевое решение уравнений:
а);
б)
в)
г)
Практическое занятие №5 Уравнение Эйлера
Цель занятия: Решение задачи об оптимальном управлении в случае функционала, зависящего от производной первого порядка.
Краткие теоретические сведения
Исследуется на экстремум, критерий следующего вида :
(5.1)
где –траектория развития управляемого процесса;– начало функционирования процесса;– окончание функционирования процесса;– некоторая известная функция своих аргументов.
Являются заданными начальное и конечное состояния процесса:
. (5.2)
Задача (5.1),(5.2) называется вариационной задачей с закрепленными граничными точками. Решение данной задачи находится из решения уравнения Эйлера, которое имеет вид
В развёрнутом виде уравнение Эйлера представлено следующим выражением:
. (5.3)
Решение уравнения Эйлера ищется в виде, где–const, определяемые из условий (5.2).
Пример решения задачи. Эффективность химико-технологического процесса определяется критерием вида
, (5.4)
где;– траектория развития процесса,– время его функционирования. Требуется найти явный вид траектории, которая доставляет экстремум критерию (5.4), при
Решение: Запишем уравнение Эйлера в развернутом виде:
Согласно условию Лежандра, необходимым условием максимума или минимума является выполнение соответствующих условий:или. Таким образомдостигает максимума:
Получаем неоднородное уравнение:
Решение данного уравнения представляется в виде
,
где – решение однородного уравнения,– частные решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравненияищем в виде
,
где и–const, определяемые из начальных условий. Решение неоднородного уравнения будем искать в виде
,
где A,B,C,D могут быть найдены, например, методом неопределенных коэффициентов:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t:
C и D – могут быть любыми, положим, например, C=D=0. Тогда получаем окончательно:
,
Определим константы ииз начальных условий
Тогда– оптимальная траектория развития управляемого процесса, доставляющая максимум критерию (5.4).
Задачи для самостоятельного решения
1.На каких кривых достигают экстремум следующие функционалы:
1) J,,;
2) J,,;
3) J,,;
4) J,
5) J, ,.
Практическое занятие №6 Уравнение Эйлера-Пуассона
Цель занятия: Решение задачи об оптимальном управлении в случае функционала, зависящего от производных более высоких порядков.
Краткие теоретические сведения
Предположим, что требуется исследовать на экстремум критерий вида :
, (6.1)
где – известная функция своих аргументов;–траектория развития процесса;– начальные и конечные моменты времени.
Будем также предполагать, что– непрерывна иn+2 раза дифференцируемая по всем своим аргументам функция. Граничные условия имеют вид:
(6.2)
Решение задачи (6.1)-(6.2) определяется из решения уравнения Эйлера-Пуассона, которое имеет вид:
Пример решения задачи. Управляемый процесс оценивается критерием вида:
Найти оптимальную траекторию развития процесса.
Решение. Запишем следующее уравнение:, для которого уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид:
При взятии дифференциала порядок производной наращивается, т.е.
,
окончательно получаем:
Пусть, например, t0=0, t1=1 и заданы начальные условия вида:
Решая данную систему, получаем:, т.е. данный критерий эффективности достигает экстремума на кривой вида.