5. Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ - прототипа и частотами ω_ПФ полосового фильтра существует соотношение

, (5.1)

где.

На этом основании (5.1) индуктивное сопротивление НЧ - прототипа заме­няется сопротивлением последовательного контура с элементами:

и ,(5.2)

а емкостное сопротивление НЧ - прототипа заменяется сопротивлением па­раллельного контура с элементами:

и .(5.3)

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 4.1 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 5.1.

Рисунок 5.1 Схема полосового фильтра

Элементы этой схемы рассчитаем по формулам (5.2) и (5.3):

Ф

6. Расчет полюсов arc-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LС - фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LС-фильтра – ее полюсами (3.4). Формула пересчёта полюсов НЧ-прототипа в полюсы ПФ:

где

- полюсы передаточной функции НЧ – прототипа.

Найдем полюсы денормированной передаточной функции ПФ.

Вначале находим:

рад/с;

рад/с;

рад/с.

Затем сами полюсы:

(6.1.а)

;

; (6.1.б)

;

. (6.1.в)

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной переда­точной функции НЧ - прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной.

Их значения удобно представить в виде таблицы.

Таблица 2

Номера полюсов	Полюсы H(p)
	-α∙104	±ω∙104
1,2	3,5739	61,5771
3,5	2,0958	73,4143
4,5	1,4782	51,7803

Чередование пар полюсов в таблице 2 значе­ния не имеет.

7. Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:

.

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

. (7.1)

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рас­считываться по формуле:

.

­Коэффициенты в знаменателе (7.1) находятся по формулам:

; и ; (7.2)

где - значение полюсов (6.1).

;

;

;

;

;

.

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведем в таблицу 3.

Таблица 3

Номер сомножителя	Значение коэффициентов
	ai1	bi1	bi0
1	150910.84	71478.946	3.805×1011
2	150910.84	41915.37	5.394×1011
3	150910.84	29563.576	2.683×1011

Подставляя найденные коэффициенты в H(p) (7.1) получим:(7.3)

8. Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном опе­рационном усилителе (ОУ) (рис. 8.1).

Рисунок 8.1 ПФ на одном опе­рационном усилителе

Если составить эквивалентную схе­му, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схе­мы на рис. 8.1, в виде:

(8.1)

Из формулы (8.1) видно, что рассмотренная схема является схемой второго по­рядка. Следовательно, для реализации функции H(p) (7.3) потребуется три по­добных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R₁, R₂, С₃, С₄, R₅ ведется путем сравнения идентичных коэффи­циентов в двух последних формулах (7.3) и (8.1).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножите­ля первой формулы (7.3):

(8.2)

В системе (8.2) пять неизвестных и только три уравнения. Система не решаема. Поэтому зададимся значениями, например, ем­костей конденсаторов С₃ и C₄ (в ходе настройки фильтра при его изготов­лении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой емкостью не существует).

Если принять С₃ = С₄ = 2 нФ, то решая (8.2) систему, получим:

R₁ = 3.313 кОм, R₅ = 13.99 кОм, R₂ = 47.645 Ом.

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же

С₃= С₄ = 2 нФ, получим:

R₁ = 3.313 кОм, R₅ = 23.858 кОм, R₂ = 19.541 Ом.

Аналогично для третьего звена:

R₁ = 3.313 кОм, R₅ = 33.825 кОм, R₂ = 27.774 Ом

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номина­лам резисторов. Поэтому для сопротивлений R₁ и R₅ в каждом звене бе­рутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R₂ берется составным, из последовательно соединенных постоянного и переменного резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.