1. Уточнения модели Дебая

В модели Дебая используется существенное упрощение реальной функции g(𝜔). Поэтому можно ожидать, что величина θ_D, полученная путем подгонки при некоторой определенной температуре экспериментального значения Cv к теоретическому, не обязательно будет оптимальной для всех других температур. Однако для любой пары измеряемых величин (Cv и Т) можно получить свой параметр θ_D. Совокупность таких измерений позволяет построить зависимость θ_D от Т. Обычно всегда имеет место некоторый разброс θ_D при изменении температуры, хотя для большинства кристаллов этот разброс менее выражен, чем в случае, приведенном на рис. 4.

Рис. 4. Температурная зависимость характеристической температуры Дебая θ_D (по измерениям теплоемкости) для металлического индия. Теплоемкость кристаллической решетки, необходимая для определения температуры Дебая, получена вычитанием электронного вклада из измеренной полной теплоемкости. [Из работы: Clement J. R., Quinnell E. #.—Phys, Rev., 92, 258 (1953).] Ясно, что при определении θ_D из низкотемпературных измерений теплоемкости получим значение θ_D=108K (см. график)

2. Температура Дебая

Как это ни удивительно, но понятие температуры Дебая θ_D используется во многих задачах физики твердого тела, в том числе и не связанных с теплоемкостью. Из того, что до сих пор говорилось о модели Дебая, могло сложиться впечатление, что эта модель не учитывает периодичности кристаллической решетки и ограничений на физически реализуемые интервалы значений волнового вектора и частоты, связанных с существованием границ зоны Бриллюэна. Однако это не так, поскольку величина 𝜔_D в модели Дебая, естественно, оказывается сравнимой с угловыми частотами фононов, волновые векторы которых близки к границам зоны. Эти фононы составляют большинство при температурах T>θ_D.

При T<<θ_D возбуждаются только фононы, волновые

векторы к которых очень близки к центру зоны Бриллюэна, и лежат достаточно далеко от ее границ (K~0).

Поэтому такие явления, как теплопроводность (определяемая ангармоническим взаимодействием фононов друг с другом) и электропроводность (определяемая рассеянием электронов на фононах), существенно различны при температурах выше и ниже температуры Дебая.

При T>θ_D у большей части фононов длина волны имеет порядок нескольких межатомных расстояний.

При T<<θ_D наиболее вероятная длина волны фонона имеет порядок a(θ_D/T). Эта длина волны при достаточно низких температурах может иметь порядок нескольких сотен и даже тысяч межатомных расстояний a.

Температура Дебая зависит от констант упругости, и, следовательно, от них зависит и температура, при которой будет выполняться сильное неравенство T<<θ_D. Кристаллы с сильным межатомным взаимодействием (алмаз, сапфир) характеризуются высоким значением θ_D. В таких кристаллах даже при небольшом охлаждении вымерзают все фононы, за исключением тех, длины волн которых очень велики по сравнению с размерами элементарной ячейки.

Температуры Дебая для наиболее характерных кристаллов приведены в последнем столбце табл. 1. Все эти величины были получены из данных по решеточной компоненте теплоемкости при низких температурах. Как можно видеть из таблицы, значения характеристической температуры, вычисленные по упругим постоянным, могут быть как больше, так и меньше «тепловой» температуры Дебая.

Таблица 1. Значения характеристической температуры Дебая для некоторых типичных твердых тел, определенные по результатам измерений упругих постоянных и теплоемкости