Задача 2.4.1
Игра «Вахтер». На входе в некоторое учреждение стоит вахтер. В учреждение могут войти посетители двух типов: «свои» и «чужие» (будем их для краткости обозначать A и B). Некоторые посетители кажутся вахтеру своими, а некоторые — чужими (фактически, в игре есть 2 типа вахтера — обозначим их соответственно a и b). Вахтер точно не знает, «свой» перед ним или «чужой» и может только проверить у посетителя наличие пропуска. При этом если посетитель окажется своим, то выигрыш вахтера составит –1, а если чужим, то 1. Если вахтер пропускает человека без проверки, то ему уже все равно, свой тот или нет, и выигрыш вахтера составляет 0.
Опишите игру в виде дерева решений «единого вахтера», который не обращает внимания на то, что ему кажется и в виде дерева, в котором учтены подозрения вахтера (a и b). Как вахтеру использовать свои подозрения при принятии решения проверять или не проверять документы?
Решение:
Единый вахтер, если не проверяет документы, выигрыш составляет 0, а если проверяет, то 2 варианта -1 или 1
Если чужие идут чаще, чем свои, ожидаемый выигрыш вахтера при втором варианте действий положительный, и чем чаще он будет применять второй вариант, тем больше общий выигрыш. Если чаще идут свои, то отрицателен и выигрыш при втором варианте действий, и общий, значит, для увеличения выигрыша нужно применять первый вариант действий.
Видим, что при проверке средний выигрыш (2р-1), умноженный на число проверенных, или разность между числом чужих и числом своих.
Это можно изобразить сокращенным деревом:
Вторая модель. Предположим, подозрения вахтера связаны с реальностью следующим образом: человек типа «а» (не подозрительный) оказывается чужим с вероятностью р, а человек типа “b” (подозрительный) оказывается чужим с вероятностью q>p.Строим дерево событий:
Последние ветви дерева можно сократить, приписав каждому варианту действий игрока средний ожидаемый выигрыш. Получим:
Дальнейшие упрощения, выбор наилучшего решения на каждой ветви, зависят от конкретных значений p и q. Выбираем действие, приносящее наибольший выигрыш:
В случае «проверять всех», отличия ожидаемого выигрыша от выигрыша «единого вахтера» также не наблюдается, получим столько очков, какова разность между числом чужих и числом своих. Вывод: Нужно пользоваться только такими категориями «подозрительности», которые более чем в 50% случаев указывают верный ответ.