- •Задача 1.1.5
- •Задача 1.2.1
- •Задача 1.2.4
- •Задача 1.3.1
- •Задача 1.4.1
- •Задача 1.4.2
- •Задача 1.4.3
- •Задача 1.5.1
- •1. Геометрическое решение:
- •Задача 2.1.1 и 2.1.2
- •Задача 2.2.1
- •Задача 2.2.6
- •Задача 2.3.1
- •Таким образом, оба варианта убыточны в среднем, но менее убыточны вложения в изделие в
- •Задача 2.3.6
- •Задача 2.4.1
Задача 2.2.1
Решение о покупке автомобиля. Рассмотрим простую ситуацию: человек, располагающий запасом денег W решает, приобрести ли автомобиль по цене p, его полезность измеряется в деньгах и денежная оценка факта наличия у него автомобиля для человека составляет (итого при покупке автомобиля его выигрыш составит W - p + , а в отсутствие автомобиля просто измеряется размером богатства W). Представьте ситуацию в виде дерева решений. Найдите граничное значение цены автомобиля, при котором человеку безразлично — покупать автомобиль или нет.
Решение:
Дерево решений состоит из следующих компонент:
• одна начальная вершина;
• две конечные вершины;
• две ветви, исходящие из начальной вершины;
• в каждой из конечных вершин указываются выигрыши.
Человеку безразлично – покупать автомобиль или нет, если выигрыши в конечных вершинах совпадают: , т.е. .
Решаем это уравнение:
Следовательно, если цена автомобиля равна , то выигрыши в конечных вершинах дерева решений получаются одинаковыми, и человеку безразлично – покупать автомобиль или нет.
Задача 2.2.6
Задача выбора количества потребляемых товаров при бюджетном ограничении. Потребитель распределяет весь свой доход между потреблением некоторого обычного товара в количестве , покупая его по цене p руб. за единицу, и потреблением всех остальных товаров, рассматривая его, как денежный остаток, который он не тратит на первый товар, — . Полезность потребителя задана функцией , а множество доступных альтернатив задано бюджетным множеством в виде , где R — весь доход потребителя. Найдите оптимальный выбор потребителя в зависимости от параметров: . Являются ли предпочтения потребителя рациональными (поясните)? Каков содержательный смысл двойственной оценки бюджетного ограничения в такой задаче?
Решение:
Предпочтения потребителя рациональны: предпочитает такой план расходов (x,z), при котором u больше. А если два плана приводят к одинаковой u, потребителю безразлично, какой выбрать.
Запишем данную задачу выпуклого программирования в виде
Так как возрастающая функция, мы можем искать только такие , которые обращают первое неравенство в равенство. Если бы максимум u достигался при другом , то при большем , все еще удовлетворяющем первому неравенству (бюджетному ограничению), и том же z, u будет еще больше, противоречие. Математически это записывается неравенством
при всех таких, что
Таким образом, надо максимизировать
в области
Найдем производную по z
она может обратиться в 0 только при
, это неотрицательная величина только при , и тогда
Напротив, при производная отрицательна при всех неотрицательных z, а u принимает свое наибольшее значение при , при этом выводим, что оптимальные
Рассмотрим двойственную задачу. Переменная у этой задачи показывает, на сколько денежных единиц изменится полезность при оптимальном плане распределения бюджета потребителя при увеличении бюджета на 1 ден.ед., если денежную единицу выбрать очень мелкую.
Преобразуем задачу к виду
Но, как уже показано при решении исходной задачи, здесь может быть только нулем, и это упростит дальнейшие формулы.
Решая эту систему, получаем
, таким образом, при R>1 на единицу прироста бюджетного ограничения приходится единица прироста функции полезности
Во втором случае, при R<1, по условию дополняющей нежесткости, ограничение z=0 является активным. Переменная у является отношением длин синего и красного векторов – проекций градиентов на ось х
Решаем систему и получаем
Таким образом, при R < 1 малый прирост R приводит к в 1/R раз большему приросту функции полезности.
Ответ: оптимальный выбор потребителя при R<1
,
Иначе