1.Энтропия всегда неотрицательна.

2.Энтропия равна нулю в том крайнем случае, когда вероятность одного из событий равна 1.Это случай, когда о сообщении все известно и результат не приносит никакой информации.

H(p)

1 H₀

0 0,5 p

3.Энтропия сообщения максимальна, если события равновероятны.

Т.е., если , то.

Это свойство определяется в падении информации по Шеннону и по Хартли. В случае неравновероятности событий количество информации по Шеннону всегда меньше потенциальной информативной емкости.

4.Энтропия аддитивна.

Пусть задано два сообщения A= и B=.

C=, A и B являются независимыми и составляют полную группу, т.е.

Кроме аксиом Шеннона, которые использовались для формулировки понятия энтропии, им были использованы специальные подходы. Подходы Шеннона к определению количества информации сообщения длиной L в условиях заданной вероятностной схемы сопровождается специальными требованиями:

1. Пустое сообщение не содержит информации.

=0

2. Количество информации, содержащейся в сообщении, пропорционально его длине.

, то .

Если есть некоторое сообщение T длиной L символов некоторого алфавита А объемом n, то количество информации , где .

Хинчен и Фадеев через задание своих аксиом показали, что энтропия конечной вероятностной схемы однозначно определяется с точностью до постоянного множителя.

, C.

Аксиомы Хинчена

1.Энтропия конечной вероятностной схемы ненулевая, непрерывная по вероятностям p_i при условиях:

1.;

2. .

2.Энтропия, заданная конечной вероятностной схемой, симметрична по p_i.

3. Энтропия, заданная конечной вероятностной схемой, при наличии пустого сообщения равна энтропии, заданная конечной вероятностной схемой без этого сообщения.

4.Энтропия объединенной вероятностной схемы:

, где ,

5. Энтропия конечной вероятностной схемы при равновероятных событиях:

Аксиомы Фадеева

1. – непрерывна при условиях: и положительна хотя в одной точке.

2. - симметрична по .

3. При где .

В дальнейшем все эти подходы Шеннона, Хинчена, Фадеева позволяют характеризовать производительность источника, оценивать возможности сжатия информации и анализировать пропускную способность канала.

3. Взаимная информация и её свойства.

Условная энтропия.

Для непрерывных величин .

Рассмотрим два связанных источника:

A

B

С=

A=

B=.

Если два источника считать связанными друг с другом, то следует ожидать, что событие одного источника позволяют делать некоторые предположения о событиях другого. В терминах теории информации это означает, что неопределенность второго источника снижается, т.е. источники обмениваются взаимной информацией. Известно, что для совместных событий между собственной, условной и совместной вероятностями существует зависимость, имеющая вид:

Прологарифмируем данное выражение:

=.

Из полученных выражений видно, что собственная информация пары событий определяется суммой собственных информаций каждого из событий за вычетом некоторой неотрицательной величины, которая снижает неопределенность, т.е. она сама в свою очередь является информацией. Эту величину называют взаимной информацией пары событий:

.

Если взять , тогда для этой случайной величины можно использовать понятие математического ожидания.

I(A;B)=

Свойства взаимной информации.

1. Взаимная информация положительна.

2. Взаимная информация симметрична относительно пары вероятностных схем.

I(А;B)=I(B;A)

3. Если сообщение A и B – независимы, т.е. не совместны, то взаимная информация I(А;B)=0.

Если сообщения A и B полностью зависимы, а именно совпадают, т.е. A и B содержат одну и ту же информацию, то взаимная информация:

I(А;B)=I(A)+I(B)

Пример.

Если A и B рассматривать как сообщение, порожденные различными источниками (например, публикации в различных газетах ), тогда для получения взаимно большей совместной ( суммарной) информации взаимная, т.е. одинаковая в данном случае информация, должна быть минимальной.

Если A и B сообщения соответственно на входе и выходе канала связи с помехами, то для получения взаимно большей информации её получателем необходимо, чтобы взаимная информация была наибольшей.

В то же время для описания воздействия помех в канале связи на полученное сообщение используется понятие условной информации и условной энтропии. Для определения условной информации и условной энтропии в заданной объединенной вероятностной схеме вернемся к соотношению:

= = .

При этом совместная информация пары событий складывается из собственной информации каждого из этих событий и некоторой информации, добавленной вторым событием при условии, что произошло первое событие. Поэтому I называют условной информацией пары случайных событий. Если аналогично тому, как мы это делали ранее, составить вероятностную схему для условной вероятности пары событий как для случайной величины:

,

тогда математическое ожидание этой случайной величины и будет являться условной энтропией объединенной вероятностной схемы:

Найдем соотношение между условной энтропией и ее взаимной информаций:

Рассмотрим взаимную информацию опять как случайную величину и, усредняя её, т.е. определяя математическое ожидание по объединенной вероятностной схеме, получим:

I(А;B) = E H(A) - H(A/B) = H(B) - H(B/A).