- •Элементы непрерывной математики
- •§1. Переменные величины и функции.
- •§2. Пределы последовательности и функции.
- •§3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей вида и
- •§4. Предел отношения при.
- •§7. Сравнение бесконечно малых.
- •§8. Непрерывность функции.
- •§9. Асимптоты.
- •§10. Число e.
- •§1. Производные алгебраических и тригонометрических функций.
- •§2. Производная сложной функции.
- •§3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
- •§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции.
- •§5. Производные логарифмических и показательных функций.
- •§11. Параметрические уравнения кривой
- •2.Интегрирование подстановкой и непосредственное
- •Интегрирование по частям
- •4. Интегрирование тригонометрических функций
- •5. Интегрирование рациональных алгебраических функций
- •6. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций
- •7. Интерирование некоторых трансцендентных функций
- •8. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки
- •Вычисление определенного интеграла
- •Вычисление площадей
- •Среднее значение функции
- •Частные производные, полные дифференциалы и их приложения
- •Функции двух переменных и их геометрическое изображение
- •Частные производные первого порядка
- •Полный дифференциал первого порядка
- •Производные сложных функций
- •5. Производные неявных функций
- •7. Интегрирование полных дифференциалов
- •Особые точки плоской кривой
- •Огибающая семейства плоских кривых
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Скалярное поле. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •1) В точке (1;1;3),
- •2) В точке
- •3) В точке
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие о дифференциальном уравнении
- •Дифференциальое уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
- •Дифференциальные уравнения первого порядка:
- •Однородное, 2) линейное, 3) бернулли
- •Дифференциальные уравнения, содержащие дифференциалы
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейное дифференциальное уравнение эйлера
2.Интегрирование подстановкой и непосредственное
Положив ,, получим
.
Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой.
В простых случаях введение новой переменной рекомендуется выполнить в уме, применяя следующие преобразования дифференциала.
и т.п.,
и обозначая мысленно выражение в скобках через . Такой прием интегрирования называютнепосредственным.
Интегрирование по частям
Из формулы дифференциала произведения получается формула интегрирования по частям:
Эта формула чаще всего применяется тогда, когда по интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например илиПри этом запринимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за- та часть подынтегрального выражения, содержащая, интеграл от которой известен или может быть найден.
Например, в интеграле занужно принять(а не), а в интегралезанужно принять(а не).
4. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы от квадратов и других четных степеней синуса и косинуса находят, применяя следующие формулы понижения степени:
Интеграл находятся по правилу ‘интегралы от квадратов’, еслииоба четные, и по правилу ‘интегралы от кубов’, еслиинечетно.
5. Интегрирование рациональных алгебраических функций
Если подынтегральная дробь неправильная, то нужно исключить из нее целое выражение.
Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида и, а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:
где - полином степени ниже степени знаменателя.
6. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций
Интеграл где- рациональная функция, находится подстановкойа интеграл более общего вида- подстановкой.
Интеграл находится подстановкой.
Тригонометрические подстановки. К рациональному тригонометрическому виду приводятся интегралы:
- подстановкой
- подстановкой
Из интеграла можно выделить алгебраическую часть по формуле
, где. Коэффициентынаходятся после дифференцирования равенства и освобождения его от знаменателя сравниванием коэффициентов слева и справа при одинаковых степенях.
Интеграл от дифференциального бинома берется в конечном виде в трех случаях:
когда- целое число, разложением;
когда- целое число, подстановкой;
когда- целое число, подстановкой, гдеs– знаменатель дроби.
7. Интерирование некоторых трансцендентных функций
К рациональному алгебраическому виду приводятся интегралы:
- подстановкой
- подстановкой
- подстановкой
8. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки
Интегралы от квадратов и других четных степеней инаходятся с применением формул:
Интегралы от нечетных степеней и.
Гиперболические подстановки иногда применяются при нахождении интегралов вида:
- подстановкой
- подстановкой
При этом: если то
если , то
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычисление определенного интеграла
Пусть на отрезке определена функцияРазобьем отрезокначастей точкамиИз каждого интервалавозьмем произвольную точкуи составим сумму, гдеСумма виданазываетсяинтегральной суммой, а ее предел приесли он существует и конечен, называетсяопределенным интегралом от функциив пределах отдои обозначается:
Функция в этом случае называетсяинтегрируемой на отрезке.
Для интегрируемости достаточно, чтобы на отрезкефункция быланепрерывна или же имела конечное число конечных разрывов.
Пусть непрерывна на. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
(1.2)
и имеет место формула
(1.3)
т.е. определенный интеграл неопределенной функцииравен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.
Формула (3) называется формулой Ньютона – Лейбница.