- •Элементы непрерывной математики
- •§1. Переменные величины и функции.
- •§2. Пределы последовательности и функции.
- •§3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей вида и
- •§4. Предел отношения при.
- •§7. Сравнение бесконечно малых.
- •§8. Непрерывность функции.
- •§9. Асимптоты.
- •§10. Число e.
- •§1. Производные алгебраических и тригонометрических функций.
- •§2. Производная сложной функции.
- •§3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
- •§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции.
- •§5. Производные логарифмических и показательных функций.
- •§11. Параметрические уравнения кривой
- •2.Интегрирование подстановкой и непосредственное
- •Интегрирование по частям
- •4. Интегрирование тригонометрических функций
- •5. Интегрирование рациональных алгебраических функций
- •6. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций
- •7. Интерирование некоторых трансцендентных функций
- •8. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки
- •Вычисление определенного интеграла
- •Вычисление площадей
- •Среднее значение функции
- •Частные производные, полные дифференциалы и их приложения
- •Функции двух переменных и их геометрическое изображение
- •Частные производные первого порядка
- •Полный дифференциал первого порядка
- •Производные сложных функций
- •5. Производные неявных функций
- •7. Интегрирование полных дифференциалов
- •Особые точки плоской кривой
- •Огибающая семейства плоских кривых
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Скалярное поле. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •1) В точке (1;1;3),
- •2) В точке
- •3) В точке
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие о дифференциальном уравнении
- •Дифференциальое уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
- •Дифференциальные уравнения первого порядка:
- •Однородное, 2) линейное, 3) бернулли
- •Дифференциальные уравнения, содержащие дифференциалы
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейное дифференциальное уравнение эйлера
§1. Переменные величины и функции.
1о.Отрезки и интервалы.Множество чиселх, удовлетворяющих неравенствама < х < b, называетсяинтервалом и обозначается (a,b). Множество чиселx, удовлетворяющих неравенствамa x b, называетсяотрезком и обозначается [a,b].
Эквивалентные неравенства (при a > 0)
x2<a2, или–a < x < a
определяют интервал, симметричный относительно нуля.
2о.Переменные величины и функции. Если каждому значению переменнойxпоставлено в соответствие одно число, то переменнаяy, определяемая совокупностью этих чисел, называется однозначнойфункцией x. Переменнаяx называется при этомаргументом, а данная совокупность значений аргумента –областью определения функции.
То, что y есть функцияx, символически записывают в видеy = f(x), илиy = F(x), илиy = (x) и т.п. Символf(x) илиF(x) и т.п. обозначает закон соответствия переменныхx иy, в частности, он может означатьсовокупность действий или операций, которые нужно выполнить надx, чтобы получить соответствующее значениеy.
§2. Пределы последовательности и функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие.
1о.Числовая последовательность. Пусть каждому натуральному числуn = 1,2,3,… по некоторому закону поставлено в соответствие числоxn. Тогда говорят, что определенапоследовательность чиселx1,x2,x3…или, короче, последовательность {xn} = {x1,x2,x3…}. Отдельные числа последовательности {xn} называются еёэлементами. Говорят ещё, что переменнаяxn пробегает значение последовательности {xn}.
2о. Предел последовательности (предел переменной). Число,а называетсяпределом последовательности {xn} или пределом переменнойxn (обозначаетсяxn а), если для всякого> 0 найдётся зависящее отчислоn0 такое, что |xn –а| <для всех натуральныхn > n0. Интервал (a -,a + ) называется-окрестностью числа а (или точкиа). Таким образом,xn а обозначает, что для всякого> 0 найдётся такое числоn0, что для всехn > n0 числа xn будут находиться в- окрестности числаа.
3о.Предел функции. Пусть функцияf(x) определена в некоторой- окрестности точкиа, за исключением, быть может, самой точкиа. Говорят, что числоb являетсяпределом функции f(x) приx а (пишутf(x) bприx а илиlim x а f(x)=b), если для любого> 0 существует зависящее отчисло> 0 такое, что | f(x)-b| <при 0 < |x-a| <. Аналогичноlim x а f(x)=b, если для всякого> 0 существует зависящее отчислоN такое, что | f(x)-b| <при |x| > N. Употребляется также записьlim x а f(x)=, которая обозначает, что для всякого числаA> 0 существует зависящее отAчислотакое, что |f(x)| > A при 0 < |x-a| <.
Если x → a и при этомх < ато пишутx → a – 0; аналогично, еслиx → a и при этомх > а, то пишутx → a + 0. Числаf(a - 0) = limx → a – 0 f(x) иf(a + 0) = limx → a + 0 f(x) называются соответственнопределом слевафункцииf(x)в точкеа ипределом справафункцииf(x)в точкеа. Для существования предела функцииf(x)при x → a необходимо и достаточно, чтобы былоf(a - 0) = f(a + 0). Вместоx → 0 – 0 иx → 0 + 0пишутx → – 0 иx → + 0 соответственно.
4о Бесконечно малые. Еслиlimx → a(х) = 0, т.е. если |(х)| при0 |х - а|(), то функция(х)называетсябесконечно малойпри x → a. Аналогично определяется бесконечно малаяa(х) приx → .
5о Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно большого числаN существует такое(N), что при0 |х - а|(N) выполнено равенство |f(x)| >N, то функцияf(x) называетсябесконечно большой приx → a. Аналогично определяется бесконечно большаяf(x) приx → .