III.2. Способы задания бинарных соответствий

Бинарные отношения можно задать одним из перечисленных способов.

1. Перечислением (см. пример 2.1). Такой способ задания применим только для конечных множеств.

2. Характеристическим свойством (см. пример 2.2).

3. Диаграммой. Пусть P Í A ´ В – бинарное отношение. На диаграмме множества А и В изображаются с помощью кругов (или любых других связных фигур) на плоскости, а элементы множеств – точками внутри соответствующих кругов. Каждой упорядоченной паре (a, b) из бинарного отношения Р сопоставляется отрезок прямой (или любая другая линия без самопересечений), соединяющий точки a и b и имеющий направление, указываемое стрелкой, от первого элемента упорядоченной пары ко второму.

бинарное отношение Р задано диаграммой на рис. 2.1. Определим множества А, В и отношение Р зададим перечислением.

Решение. А = {a, b, c, d, e}, B = {1, 2, 3},

P = {(b, 1), (d, 2), (d, 3), (e, 3)}.

4. Графом. Если А = В, то диаграмма станет графом. Бинарному отношению Р ставим в соответствие следующую геометрическую фигуру на плоскости: точки, являются элементами множества DomР и ImР и ориентированные ребра (линии) – каждой паре (a, b) Î Р поставим в соответствие ориентированное ребро, идущее от а к b (если а ≠ b) и петлю (если а = b) с фиксированным направлением обхода. Такую фигуру будем называть ориентированным графом отношения Р.

Каждое бинарное отношение на конечном множестве можно представить ориентированным графом. Обратно, каждый ориентированный граф представляет бинарное отношение на множестве его вершин.

Пример 2.4.Граф, изображенный на рис. 2.2, задает отношение Р = {(a, a), (a, c), (a, d), (b, e), (b, c), (d, c), (c, c)} на множестве A = {a, b, c, d, e}.

5. Графиком. Этот способ применяется, если отношение задано на числовых множествах. Графиком бинарного отношения Р называется множество точек плоскости Oxy с координатами (x, y) такие, что пара (x, y) Î Р.

III.3. Область определения, область отправления, множество значений, область прибытия соответствия

Рассмотрим два множества: X и Y. Элементы этих двух множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг с другом, образуя пары (x, y). Если способ такого сопоставления определен, то есть для каждого элемента xX указан элемент yY, с которым сопоставляется элемент x, то говорят, что между множествами X и Y установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств X и Y.

Для того чтобы задать соответствие, необходимо указать: множество X, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества; множество Y, с элементами которого сопоставляются элементы первого множества; множество QXY, определяющее закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, то есть перечисляющее все пары (x,y), участвующие в сопоставлении).

Таким образом, соответствие, обозначаемое q, представляет собой тройку множеств

q=(X, Y, Q),

в которой QXY. В этом выражении первую компоненту X называют областью отправления соответствия, вторую компоненту Y - областью прибытия соответствия, третью компоненту Q - графиком соответствия.

С каждым соответствием неразрывно связаны еще два множества: множество Пр1Q, называемое областью определения соответствия, в которое входят элементы множества X, участвующие в сопоставлении, и множество Пр2Q, называемое областью значений соответствия, в которое входят элементы множества Y, участвующие в сопоставлении.

4.2. Обратное соответствие

Для каждого соответствия q=(X, Y, Q), QXY существует обратное соответствие, которое получается, если данное соответствие рассматривать в обратном направлении, то есть определять элементы xX, c которыми сопоставляются элементы yY. Соответствие, обратное соответствию q, обозначается

q-1=(Y, X, Q-1), где Q-1=YX.

Обратным соответствием обратного соответствия будет прямое соответствие:

(q-1)-1=q.

5. Отображения и функции

5.1. Отображения и их свойства.

Пусть X и Y - некоторые множества и ГXY, причем Пр1Г=X. Тройка множеств (X, Y, Г) определяет некоторое соответствие, обладающее, однако, тем свойством, что его область определения Пр1Г совпадает с областью отправления. Такое всюду определенное соответствие называется отображением X в Y и записывается как

Г: XY.

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых свойств отображения. Пусть AX. Для любого xA образом x будет множество Гх=Y. Совокупность всех элементов Y, являющихся образами Гх для всех xA, назовем образом множества A и будем обозначать ГА. Согласно этому определению?

Если A1 и А2 - подмножества X, то

Однако соотношение

справедливо только в том случае, если отображение Г: XY является однозначным. В общем же случае

5.2. Функция и обратная функция

Рассмотрим некоторое отображение f: XY. Это отображение называют функцией, если оно однозначно, то есть для любых пар (x1y1)f и (x2y2)f из x2=x1 следует y2=y1. Формальное определение:

Понятие обратной функции применимо для такого отображения f: XY, которое, во-первых, является однозначным, то есть для любых (x1, y1)f и (x2, y2)f из x2=x1 следует y2=y1, и, во-вторых, является взаимно однозначным, то есть из x2x1 следует y2y1. При выполнении этих условий отображение f: XY является однозначным, то есть определяет функцию y=f(x) Обратное отображение f-1: YX также является однозначным и определяет функцию x=f-1(y), называемую обратной по отношению к y=f(x).

5.3. Понятие функционала

Говоря об отображении f: XY как о функции с вещественными значениями, мы не накладывали на характер элементов множества X каких-либо особых ограничений. В простейших задачах множество X, как и множество y, представляет собой множество вещественных чисел. Каждая пара (x, y)f ставит в соответствие вещественному числу x другое вещественное число y. Однако важным для практики является случай, когда множество X представляет собой множество функций, а множество Y - множество вещественных чисел.

Если обозначить через F(x) множество различных функций, а через T множество вещественных чисел t, то можно записать отображение

J : F(x)T

Элементами J будут пары (f(x), t), в которых f(x)F(x), а tT. В этом случае говорят, что вещественное число tT представляет собой функционал J от функции f(x)F(x), записывают в виде

t=J[f(x)].

5.4. Понятие оператора

Оператором L называется отображение

L: XY,

в котором множества X и Y являются множествами функций с элементами x(t) и y(t), так что элементами множества L будут пары (x(t), y(t)). В этом случае говорят, что оператор L преобразует функцию x(t) в функцию

y(t)=L[x(t)].

В задачах управления роль оператора часто выполняет сама система, преобразующая по некоторому закону L входной сигнал x(t) и выходной сигнал y(t).