I.5. Диаграмма Эйлера-Венна

Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.). Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В:

С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение:

- если А Множества. Операции над множествами В, а В Множества. Операции над множествами С, то А Множества. Операции над множествами С.

Строгое доказательство этого утверждения, не опирающееся на диаграмму, можно провести так: пусть х Множества. Операции над множествами А; так как А Множества. Операции над множествами В, то х Множества. Операции над множествами В, а так как В Множества. Операции над множествами С, то из х Множества. Операции над множествами В следует, что х Множества. Операции над множествами С; значит, из того, что х Множества. Операции над множествами А, следует х Множества. Операции над множествами С, а поэтому А Множества. Операции над множествами С.

I.6. Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪(ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪{5,6} = {1,2,5,6}

I.7. Свойства операций над множествами

1. Если А ⊂В и В ⊂С, то А ⊂С (транзитивность),

2. Если А ⊂ В и В ⊂ А, то А = В,

3. А ∪А = А,

4. А ∪ ∅ = А,

5. А ⋂ А = А,

6. А ⋂ ∅ = ∅,

7. А – А = ∅

8. А ∪ В = В ∪ А (коммутативность сложения),

9. А ⋂ В = В ⋂ А (коммутативная умножения),

10. (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С) (ассоциативность сложения),

11. (А ⋂ В) ⋂ С = А ⋂ (В ⋂ С) (ассоциативность умножения),

12. А ⋂ (В ∪ С) = (А ⋂ В) ∪ (А ⋂ С) (дистрибутивность умножения относительно сложения),

13. А ⋂ (В – С) = (А ⋂ С) (дистрибутивность умножения относительно вычитания),

14. А ∪ (В ⋂ С) = (А ∪ В) ⋂ (А ∪ С) (дистрибутивность сложения относительно умножения).