II.4. Определение и виды математических условий

Виды определений математических понятий:

1) через ближайший род и видовые отличие (ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны);

2) конструктивные (генетические) – показан способ конструирования объектов, принадлежащих данному понятию (окружность, биссектриса, осевая и центральная симметрия);

3) определение — условное соглашение (используются в школьном крсе математике при расширении понятия числа:);

4) индуктивные (рекуррентные) – указываются базисные понятия некоторого класса и правила получения новых объектов этого же класса (арифметическая прогрессия);

5) отрицательные (определение параллельных прямых);

6) аксиоматические или косвенные (через систему аксиом; длина, площадь, объем).

Видовые отличия могут соединятся союзами:

1) «и» — конъюнктивная структура;

2) «или» — дизъюнктивная структура (неправильная дробь);

3) «если…,то…» (функция называется возрастающей, если…)

Логико-дидактический анализ определения:

1) выделить термин;

2) род;

3) видовое отличие;

4) определить структуру.

III. Соответствия

III. 1. Понятия о соответствии между элементами двух и более множеств

Соответствия между множествами

Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин; при решении задач на движение

устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем при условии, что скорость движения постоянна. Начальная частная школа

помогает учащимся установить соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями, между числом, характеризующим площадь данной фигуры, и самой этой фигурой и т.п.

Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами P, S, T, R и др. Если xSy – соответствие между элементами множеств X и Y, то, соглаcно определению, SXY.

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в данном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Например, соответствие между множествами X={1, 2, 4, 6} и Y={3, 5} можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: a<b при условии, что aX, bY;

Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами графа; некоторые из них соединены друг с другом линиями, которые называются ребрами графа. График соответствия представляет собой изображение множества XY в виде точек на координатной плоскости. Представление соответствия в виде графа и графика позволяет изображать его в тех ситуациях, когда в заданном соответствии находится бесконечное множество пар чисел.

Пусть на множествах X=R, Y={4, 6} задано соответствие «больше». Так как в заданном соответствии находится бесконечное множество пар, то такое соответствие можно представить лишь наглядно.

Множество этих стрелок называют полным прообразом элемента t: R(t).

R(t)={a, c, d}.

Может случиться, что из данной точки не выходит ни одна стрелка, например, b. Тогда образ элемента b пуст: R(b)= .

Множество Х называют областью отправления соответствия R, множество Y – областью прибытия.

Совокупность А всех элементов из Х, имеющих непустые образы, называют множеством определения соответствия R. Множество В всех элементов из Y, имеющих непустой полный прообраз, называют множеством значений соответствия R.

Если график соответствия R между множествами Х и Y совпадает со всем декартовым произведением XY, то соответствие называют полным. Если же график пуст, то R называют пустым соответствием.

Над соответствиями можно выполнять различные операции.

Если между множествами Х и Y заданы соответствия xPy и xQy, то их пересечением R=PQ называют соответствие xRy, график которого является пересечением графиков данных соответствий.

Объединением S=PQ данных соответствий называют соответствие xSy, график которого является объединением графиков соответствий xPy и xQy .

Если графики соответствий xPy и xQy – дополнительные множества в XY (т.е. не пересекаются, а в объединении дают XY), то такие соответствия называют противоположными. Например, соответствие «число х больше числа y» и соответствие «число х не превосходит числа y».

Соответствия P и Q называют несовместимыми, если не существует ни одной пары (х;y), для которой одновременно выполнялись бы условия xPy и xQy. Например, для прямых xy и x||y соответствия несовместимы.