I.3. Способы задания множеств

Множество считается заданным, если о каждом элементе можно однозначно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.

А) Простейший способ задания множества состоит просто в перечислении всех элементов данного множества.

Если множество A конечное, состоящее из элементов A1, A2, …, AN, то пишут A = {A1, A2, …, AN} . В частности, {A} — множество, состоящее из одного элемента A.

Но такой способ задания применим, разумеется, лишь к конечным множествам.

Б) Другой, универсальный способ: задание множества A С помощью характеристического свойства элементов данного множества, то есть такого свойства, которым обладают все элементы множества A и не обладают другие элементы, не принадлежащие A.

Если P(X) — такое свойство, то пишут: .

Например, для конечного множества A = {A1, A2,…, AN} можно записать: A = {X | x = A1, или X = a2, или …, или X = AN}. Множество всех депутатов парламента можно задать так: D = {X | X — депутат}. Множество всех студентов S = { x | X — студент}.

В) Еще один способ — это задание множества с помощью порождающей процедуры, или алгоритмический способ.

Например, пусть M = {1, 2, 4, 8, 16,…} — множество степеней числа 2. Тогда его можно задать так:

1) ; 2) если , то .

Другой пример: множество МP = {314, 159, 256, 358, …} задается как последовательность троек подряд идущих цифр десятилетней записи числа p = 3,141592653589793238462… . (В действительности, учитывая трансцендентность числа p, множество МP содержит все целые числа от 0 до 999.)

Г) Четвертый способ — задание множеств с помощью операций над уже известными множествами.

К описанию свойств, задающих множество, естественно предъявить требования точности и недвусмысленности. Например, множество хороших фильмов 1999г. разные люди зададут разными списками. Даже сами критерии отбора фильмов могут оказаться различными.

Надежный способ точного описания множества — распознающая (разрешающая) процедура. Например, для множества степеней двойки М2N разрешающей процедурой может служить разложение числа на простые множители.

Задание множества М4 нельзя отнести ни к одному из перечисленных способов; оно по сути совсем не задано, а только названо. Задать его можно списком футболистов, или описанием: М4 есть множество лиц, имеющих удостоверение футболиста клуба «Динамо-Минск». В этом случае разрешающая процедура — это проверка документов.

I.4. Пустое и универсальное множества

В теории множеств отдельно вводится множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом Æ. Если A есть пустое множество, то пишут: A = Æ. Зачем же его вообще вводят? Стоит отметить, что когда множество задано своим характеристическим свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Например, пусть множество А состоит из всех четырехугольников таких, что) все их углы прямые,)диагонали имеют различную длину.

Для человека, не знающего геометрии, ничего противоречивого в этих требованиях нет. Однако из теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника следует, что множество таких четырехугольников пусто. Пустыми являются также множества треугольников, сумма углов которых отлична от 180, множество квадратных трехчленов, имеющих больше двух корней и т.д.

В любой конкретной задаче приходится иметь дело только с подмножествами некоторого, фиксированного для данной задачи, множества. Его принято называть универсальным. Оно обычно обозначается U (от англ. Свойства универсального множества:

-Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества

-В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов

-Любое множество является подмножеством

-В частности, само универсальное множество является своим подмножеством

-Объединение

-В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству

-Пересечение

-В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству

-Исключение

-В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству

-Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению

-Дополнение универсального множества есть пустое множество.