II.2. Объем и содержание понятия

Объекты реальной действительности обладают: а) едиными свойствами, выражающими его отличительные свойства (например, уравнение третьей степени с одной переменной – кубическое уравнение); б) общими свойствами, которые могут быть отличительными, если выражают существенные свойства объекта (его признаки), выделяющие его из множества других объектов.

Термин “понятие” используется для обозначения мысленного образа некоторого класса объектов, процессов. Психологи выделяют три формы мышления:

1) понятиями (например, медиана – отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной треугольника);

2) суждениями (например, для углов произвольного треугольника справедливо: );

3) умозаключениями (например, если a>b и b>c, то a>c).

Характерными для формы мышления понятиями являются: а) это продукт высокоорганизованной материи; б) отражает материальный мир; в) предстаёт в познании как средство обобщения; г) означает специфически человеческую деятельность; д) его формирование в сознании неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.

Математическое понятие отражает в нашем мышлении определённые формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций. Их формирование происходит по схеме:

Каждое понятие объединяет множество объектов или отношений, называемое объёмом понятия, а характеристические свойства, присущие всем элементам этого множества и только им, выражающие содержание понятия.

Например, математическое понятие – четырёхугольник. Его объём: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция и т.д. Содержание: 4 стороны, 4 угла, 4 вершины (характеристические свойства).

Содержание понятия жёстко определяет его объём и, наоборот, объём понятия вполне определяет его содержание. Переход от чувственной ступени к логической происходит посредством обобщения: либо через выделение общих признаков объекта (параллелограмм – четырёхугольник - многоугольник); либо через общие признаки в сочетании с особенными или единичными, которое приводит к конкретному понятию.

II. 3. Требование к определению понятия

Появление в математике новых понятий, а значить, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение. Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. (Например, Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы прямые.)

Правила формулировки определений: 1) Определение должно быть соразмерным, т.е. объёмы определяемого и определяющего понятия должны совпадать. 2) В определении (или их системе) не должно быть порочного круга, т.е нельзя определять понятие через само себя (в определении не должно содержаться определяемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него. 3) Определение должно быть ясным, т.е. требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия. 4) Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.

При изучении математике в начальной школе определение через род и видовое отличие используются редко. Здесь, чаще всего, используют неявные определения. Среди них различают контекстуальные и остенсивные. В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающий смысл вводимого понятия. Остенсивные определения - это определения путём показа. Они используются для введения терминов путём демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.