Матан. Вопросы к экзамену
.docВопросы к экзамену 1 курс 2 семестр
-
Первообразная функция и неопределенный интеграл. Теорема о первообразных (доказательство).
-
Свойства неопределенного интеграла. Основные правила интегрирования.
-
Введение константы и функции под знак дифференциала. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
-
Циклические и «неберущиеся» интегралы. Примеры.
-
Дробно-рациональные функции и их интегрирование.
-
Интегрирование тригонометрических функций.
-
Интегрирование иррациональных функций.
-
Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
-
Основные свойства определенного интеграла.
-
Определенный интеграл с переменным верхним пределом (доказательство).
-
Формула Ньютона-Лейбница (доказательство).
-
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
-
Замена переменной в определенном интеграле.
-
Определенный интеграл на симметричном интервале и от периодических функций.
-
Несобственные интегралы 1 типа (с бесконечными пределами).
-
Несобственные интегралы 2 типа (от разрывных или неограниченных функций).
-
Признаки сходимости несобственных интегралов
-
Вычисление площади фигуры, ограниченной линией, заданной явным уравнением.
-
Вычисление площади фигуры, ограниченной линией, заданной параметрическим уравнением.
-
Вычисление площади фигуры, ограниченной линией, заданной в ПСК.
-
Вычисление длины дуги кривой, заданной явным уравнением.
-
Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическим уравнением.
-
Вычисление длины дуги кривой, заданной уравнением в ПСК.
-
Основные определения теории функций нескольких переменных: определение ФНП, способы задания, область определения, графическое изображение, примеры.
-
Предел ФНП: δ-окрестность, предел, примеры вычисления пределов.
-
Непрерывность ФНП: непрерывность функции в точке, три условия непрерывности, точки разрыва, примеры.
-
Частное и полное приращение функции, геометрическая иллюстрация.
-
Теорема о виде полного приращения функции (доказательство).
-
Определение частных производных, их геометрический смысл (чертеж), способы вычисления.
-
Частные и полный дифференциалы функции z=f(x,y), геометрический смысл честных и полного дифференциалов (чертеж), его применение в приближенных вычислениях.
-
Определение касательной плоскости и нормали к поверхности. Вывод уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности для случая явного задания уравнения поверхности.
-
Производные и дифференциалы высших порядков. Формулировка теоремы о смешанных производных. Примеры.
-
Дифференцирование сложной функции, вывод формул. Примеры.
-
Теорема о дифференцировании неявной функции
(доказательство). Дифференцирование
неявно заданной ФНП, вывод формул.
Примеры. -
Определение касательной плоскости и нормали к поверхности. Вывод уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности для случая неявного задания уравнения поверхности.
-
Экстремумы ФНП: понятие, необходимые условия (доказательство),геометрическая интерпретация необходимых условий. Примеры экстремумов недифференцируемых функций.
-
Достаточные условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении функции.
-
Понятие дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Понятие общего решения и общего интеграла.
-
Простейшие задачи, приводящие к дифференциальному уравнению.
-
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
-
Задача Коши. Теорема существования и единственности решения ДУ.
-
Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
-
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
-
Дифференциальные уравнения Бернулли.
-
ДУ высших порядков. Основные определения. Теорема существования и единственности решения.
-
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка (на примерах ДУ 2-го порядка).
-
Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков (определение и вид общего решения).
-
Линейная зависимость и линейная независимость систем функций. Критерий линейной зависимости систем функций.
-
Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
-
Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
-
Блок-схема решения линейного неоднородного дифференциального уравнения со специальным видом правой части.
-
Теорема наложения для линейного неоднородного дифференциального уравнения. Примеры.
-
Системы однородных линейных дифференциальных уравнений. Основные определения.
-
Решения систем однородных линейных дифференциальных уравнений. Матричный метод.
-
Решения систем однородных линейных дифференциальных уравнений. Метод исключения.
-
Решения систем неоднородных линейных дифференциальных уравнений.
-
Текстовые задачи на составление ДУ и их решение.