Материал к лекции 7 по физике, гр. 39 в, 1 семестр 2011/2012 учебного года

25.7. Безвихревой характер консервативного поля

Для любого вектора и для любого замкнутого пути , ограничивающего односвязную поверхность , (рис. 25.7.1), математическая теорема Стокса утверждает, что

, (1)

где – элемент пути; – нормаль к элементу поверхности : .

Для консервативного поля сил по теореме Стокса в любой точке поля должно выполняться условие , то есть консервативное поле является безвихревым.

25.8. Консервативность поля тяжести. Потенциальная энергия частицы в поле тяжести

Сила тяжести, действующая на материальную точку массой вблизи поверхности Земли, равна . Для данного тела она постоянна и одинаково направлена. Собственно поле тяжести задаётся вектором , не зависящим от тела, на которое действует сила тяжести. постоянен, поэтому , следовательно, поле тяжести безвихревое, консервативное, и можно ввести потенциальную энергию частицы в поле тяжести.

Направим ось вертикально вверх противоположно (рис. 25.8.1). Если частица переносится из начала координат , в котором потенциальная энергия равна нулю, по любой траектории в точку с координатами , то при этом совершается работа против действия силы тяжести:

.

Частица в поле тяжести обладает потенциальной энергией , которая зависит только от высоты над началом отсчёта. В частности, потенциальная энергия частицы, находящейся ниже начала отсчёта, отрицательна. Если начало отсчёта находится на поверхности Земли, то – высота материальной точки над поверхностью Земли.

25.9. Консервативность поля упругости. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Сила упругости, действующая на материальную точку со стороны деформированного тела, по закону Гука равна . Только одна производная силы упругости не равна нулю, но эта производная не входит в ротор, следовательно , следовательно, поле сил упругости безвихревое, консервативное, и можно ввести потенциальную энергию частицы в поле упругости.

Вычислим потенциальную энергию растянутой или сжатой пружины, используя ее определение через работу. Выберем ось так, что растяжению соответствуют значения переменной , сжатию – , а начало отсчета энергии свяжем с положением равновесия: при (рис. 25.9.1). Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе против силы упругости по растяжению или сжатию тела:

.

, независимо от того, растянута или сжата пружина.

§ 26. Сохранение энергии

26.1. Консервативная система

Консервативная система – система тел, на которые действуют только консервативные силы.

26.2. Полная механическая энергия системы

Механическая энергия системы – скалярная физическая величина, характеризующая механическое движение и взаимодействие точек системы между собой и с другими телами, . Основная единица измерения в Си – 1 Дж. Полная механическая энергия системы – однозначная функция состояния системы, то есть характеризует состояние механической системы и не зависит от того, как система пришла в это состояние.

26.3. Энергия и ее формы

Понятие механической энергии, как характеристики состояния, которой обладают тела при механическом движении, можно обобщить на все виды движения, введя общее понятие энергии.

Энергия – это общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Таким образом, понятие энергии связывает воедино все явления природы. При переходе системы из одного состояния в другое изменение энергии не зависит от того, каким способом (в результате каких воздействий) происходит переход, то есть энергия – однозначная функция состояния системы.

В соответствии с различными формами движения рассматривают различные формы энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную, гравитационную и др. Это деление в некоторой степени условно. Так, химическая энергия складывается из кинетической энергии движения электронов и электрической энергии взаимодействия электронов между собой и с атомными ядрами. Внутрення энергия равна сумме кинетической энергии хаотического движения молекул относительно центра масс тел и потенциальной энергии взаимодействия молекул друг с другом.