4.4.2.Вычисление пределов , ,
Эти пределы далее будут использованы при вычислении производных основных элементарных функций. Вновь подчеркнём, что отвечая на экзамене вопрос о вычислении этих пределов, нельзя пользоваться правилами Лопиталя или формулой Тейлора. Разумеется, они дадут верный ответ, но их применение требует знания производных функций, стоящих в числителях этих дробей. А для вычисления этих производных, как отмечено выше, требуется знать эти самые пределы. Поэтому получится не доказательство, а порочный логический круг.
Теорема4.8.
=1,
=
,
=
.
Доказательство.
В теореме 3.8.2
мы
установили, что
.
Рассмотрим левую часть этого равенства
и преобразуем её так:
.
По непрерывности показательной функции
(а именно: непрерывность функции означает,
что
)
получаем
,
т. е.
.
Далее
рассмотрим предел
и сделаем в нём замену переменной
(это – монотонная замена и теорема
4.1.3 о пределе сложной функции применима).
При
и
,
и наоборот, при
также
.
Поэтому
,
по доказанному выше.
Для
предела
имеем
.
Рассмотрим
.
Обозначим
,
т. е.
.
Тогда
,
и
при
переменная
,
и наоборот, при
переменная
.Наш
предел примет вид
.
Это
преобразование законное, т. к. при
и
,
поэтому
.
Далее используем доказанное в первом
пункте равенство. Таким образом, искомый
предел равен
.
Запишем
найденные предельные соотношения с
помощью символа
.
Равенство
означает,
что
,
при
или что
,
.
Равенство
означает, что
,
.
Аналогично,
,
.
(Кстати,
равенство
означает, что
при
).