§4.2. Точки разрыва и их классификация

Определение 4.2.1. Если функция, определённая в окрестности точки не является непрерывной в этой точке, то говорят, что онаимеет разрыв в этой точке.

Замечание. Обратим внимание на то, что в этом определении требуется, чтобы функция была определена в самой точке , иначе говорить о наличии разрыва не имеет смысла.

Точки разрыва делятся на следующие классы.

Определение 4.2.1. Точкой устранимого разрыва называется такая точка , что существуетно при этом

. В этом случае можно переопределить функцию так, чтобы получилась непрерывная функция.

Например, пусть

Переопределим функцию в точке,положив и. Таким образом, получилась непрерывная функция

Замечание. Иногда к точкам устранимого разрыва относят точки, в которых, но значение не определено. При этом функцию можно доопределить в точке

до непрерывной функции.

Мы в этом случае не будем называть точкуточкой устранимого разрыва, а будем говорить, что функцию можнодоопределить до непрерывной функции в точке .

Пусть . Эта функция не определена в точке , но её предел при существует и равен 1.Поэтому можно

доопределить функцию , рассмотрев функцию

По определению, полученная функция непрерывна в точке.

Определение 4.2.2. Пусть функция определена в окрестности

точки . Точканазываетсяточкой разрыва первого рода, если

существуют и, причем .

Например, функция

обладает разрывом в точке первого рода.

Замечание. По следствию теоремы 3.7.2 монотонная в окрестности точкифункцияимеет и . Поэтому она либо непрерывна в точке a, когда оба эти предела равны друг другу, либо имеет в ней разрыв первого рода, когда эти пределы различные.

Определение 4.2.3. Пусть функция определена в окрестности

точки . Если хотя бы один из пределов , не существует, или бесконечен, то говорят, что

– точка разрыва второго рода.

§4.3. Непрерывность элементарных функций

1. Непрерывность многочленов

Так как функция непрерывна в любой точке, по теореме о непрерывности произведения непрерывных функций, функция– непрерывная. Последовательно применяя вышеупомянутую теорему, получаем, что для любого натуральногофункция– непрерывная. Умножая непрерывные функциина постоянные числасоответственно, получаем, что– непрерывные функции. Сложив их, получаем непрерывную функцию. Итак, многочлен – непрерывная на всей прямой функция.

4.3.2.Непрерывность рациональной функции

По определению, рациональной функцией называется отношение двух многочленов, и , т. е.=

.

Во всех тех точках , где, функцияR(x) непрерывна по теореме о непрерывности частного. Если же в точке выполняется равенство, то в этой точке функция не определена, но в некоторых случаях может быть доопределена до непрерывной функции, как например, функция

в точке . В противном случае, как бы мы ни доопределяли значение функции в точке , у полученной функции будет в точкеразрыв второго рода. Например, как бы мы ни доопределили функцию

в точке , полученная функция имеет в этой точке разрыв второго рода.