13.5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку, схему алгоритма, листинг программы, распечатку результатов, графики, анализ полученных результатов.

13.6. Контрольные вопросы и задания

1. Осуществить вывод уравнения диффузии для неподвижной среды.

2. Вид уравнения в частных производных 1-го порядка.

3. Перечислить типы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя неизвестными.

4. В чем заключается суть метода сетки?

5. Какие существуют способы представления производных в конечно-разностном виде?

6. В чем заключается расчет уравнения в частных производных 1-го порядка с помощью явной разностной схемы?

7. Условия устойчивости явной разностной схемы.

13.7. Задания

Задачи, описываемые уравнением вида

Вариант 1.Растворенное вещество с начальной концентрациейс₀(0,5 моль/дм³) диффундирует из раствора, заключенного между плоскостямих=0их=h. Определить процесс выравнивания концентраций, предполагая, что границых=0их=lнепроницаемы для вещества. Расстояние междуhиlпринять равным единице. Коэффициент диффузии взять равным 10^-3см²/с. Конечное время процессаt_k = 20c.

Начальные и граничные условия примут вид:

Вариант 2.Сосуд высотойh= 1 см заполнен раствором соли, концентрация которой 100 моль /дм³. Он погружен в емкость с большим количеством воды так, что открытый край сосуда находится непосредственно под поверхностью воды и находится с нею в соприкосновении. Граничные условия:

Найти распределение концентрации соли в любой момент времени (t_k = 5 с;D= 10^-2см²/с).

Вариант 3.Плоская керамическая плита толщиной 4 см подвергается сушке с двух сторон. Начальное содержание влагис= 0,5 г/см³. Распределение внутри массы происходит за счет молекулярной диффузии (D= 0,25 см²/ч). Известно, что при данных условиях сушки процесс протекает за период постоянной скорости сушки со скоростью 0,1 г/(ч•см²) воды до тех пор, пока поверхностное содержание влаги остается выше 0,22 г/см³.

Установить продолжительность периода постоянной скорости сушки, количество испарившейся влаги и распределение влаги внутри пластины к концу периода постоянной сушки. Площадь поверхности плиты 1 м².t_k= 15 ч;= 0,5 г/см³.

Граничные условия: .

Задачи, описываемые уравнением вида

Вариант 4.Дан тонкий однородный стержень длиной 50 см, начальная температура которого равна нулю. На концех=lтемпература поддерживается равной нулю, а ни концех=0 она растет линейно от времени по законуТ(t, 0) = a·t(а= 20). Найти распределение температуры вдоль стержня в любой момент времени. Конечное времяt_k=10 с. Коэффициент температуропроводностиα² взять равным 0,1 м²/с.

Вариант 5. Условие такое же, как в варианте 4, но граничное условие концех=0 имеет вид:

T(t, 0) =(= 0,5).

Вариант 6.Дана бесконечная пластина стали толщиной 0,3 м, имеющая начальную температуру 700 °С. Наружные плоскости её мгновенно охлаждаются и их температура поддерживается равной 100 °С. Требуется определить значение температуры в среднем сечении, параллельном наружным плоскостям, по истечении 15 мин.

Плотность стали γ= 7800 кг / м³; удельная теплоемкость сталис= 460 Дж/(кг•С); коэффициент теплопроводности λ = 45,4 Вт/(м•°С). Коэффициент температуропроводности α²определяется как.

Вариант 7.Дан тонкий однородный стержень длиной 1 м, боковая поверхность которого теплоизолирована. Начальная температура стержня 100 °С. Конец стержнях=0 поддерживается при температуре, равной нулю, а на концех=lпроисходит теплообмен с окружающей средой, температура которой считается равной нулю. Определить распределение температуры вдоль стержня в любой момент времени.

Граничные условия на одном конце , а на конце где происходит теплообмен,А=1,9. Коэффициент температуропроводностиα²принять равным 1,910^-2м²/с, а конечное время 6 с.

Вариант 8.Решить задачу 6, предполагая, что теплообмен с окружающей средой происходит на обоих концах.

Вариант 9.Получить численное решение уравнения

с начальным условием и граничными условиями:

А=5,0;=1;H=0,35;t_k=30 с;a²=0,064 м²/мин;L=1 м.

Вариант 10.Решить задачу об остывании однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температураT_t=0= 1500 °С, один конец теплоизолирован, а другой поддерживается при постоянной температуреT₀=0 °С. t_k=1 ч;a²=0,036 м²/ч;L=1 м.

Граничные условия:

Задачи, описываемые уравнениями вида

.

Вариант 11.Растворимый газ взаимодействует с жидкостью или с растворенным в ней веществом. Скорость расходования газа определяется реакцией первого порядкаk·C_A. Уравнение, описывающее процесс растворения газа, имеет вид:

, а начальные и граничные условия

Константа скорости химической реакции k = 0,1 с^-1;t_k = 20 с;D= 10^-2см²/с. Определить профиль концентраций в жидкой фазе в любой момент времени. Толщина пленки жидкости 1 см. (С_A⁰ = 0,5 моль/дм^З).

Задачи, описываемые уравнениями вида

или.

Если λ=2, имеем шар, если λ=1, имеем цилиндр.

Вариант 12. Дан однородный шар радиусаR=5 см при температуре, равной нулю. Шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым потокомq = 500 ккал/(м²ч) (1 кал=4,187 Дж). Найти распределение температуры по радиусу шара в любой момент времени.

Начальные и граничные условия:

(k= 0,91 Вт/(м²·°С);a²= 0,04 м²/ч;t_к= 2 мин).

Вариант 13.Диффузионной средой является цилиндр радиусаR=10 см, на поверхности которого постоянная концентрацияс₀=0,1 моль/дм³. Вначале среда свободна от растворенного вещества. Найти распределение концентрации вещества по радиусу цилиндра в любой момент времени (D= 0,l см²/с;t_k= 10 с).

Начальные и граничные условия:

.

Вариант14.Однородный шар радиусаR=50 см находится при постоянной температуреТ₀=300°С и окружен сферической оболочкой из того же материала толщиной R, находящейся при температуре, равной 0 °С. Все это охлаждается в среде с температурой, равной нулю. Найти температуру в точках внутри шара на расстоянииrот центра в любой момент времени (α²= 0,01 м²/ч;t_к= 0,5 ч). Граничные условия для центра шара:

.

Вариант 15.Сфера радиусаR = 2 см содержит растворенное вещество с начальной концентрациейС₀ = 0,1 моль/дм^З. Концентрация на поверхности сферы поддерживается постоянной и равной 1 моль/дм³. Найти количество абсорбированного вещества в шаре через 10 мин. (D = 10^-2см²/с).

Граничные условия в центре шара: .

Вариант 16.Найти распределение температуры внутри бесконечного кругового цилиндра радиусаR= 5 cм при условии, что начальная температура равна, при Т⁰= 50 °С, а на боковой поверхности температура поддерживается равной нулю (а²= 0,1 см²/с;t_k = 50 с).

Граничное условие для центра цилиндра:.

Вариант17.Дан однородный шар радиусаR=20 см. Известна начальная температура шараT₀=100 °С. Внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре. Найти распределение температуры по радиусу шара в любой момент времени (а²=0, 1 м²/ч;t_k= 3 мин).

Граничное условие в центре шара: .