4.3. Краткие теоретические сведения

На практике очень часто зависимости между интересующими нас величинами задаются таблично, например, зависимость между температурой и ЭДС термопары задается в виде градуировочных таблиц. В случае задания зависимости в виде таблицы нет возможности определения значений, находящихся между табличными значениями. Для решения данной задачи необходимо заменить таблично заданную зависимость аналитической зависимостью.

Математическая постановка задачи интерполирования

Пусть дана табличная зависимость (табл. 2), гдеm– число экспериментальных точек.

Н

Таблица 2

xi	yi
x1	y1
x2	y2
x3	y3
	
xm	ym

еобходимо найти такую зависимостьy=f_n(x),для которой все значения в узлах интерполирования совпадают с табличными

(3)

i=1,2,…,m, гдеn=m-1– порядокf_n(x_i).

Шагом интерполированияназывается величинаh,определяемая следующим соотношением:

.

Величина hможет быть на всем рассматриваемом интервале постоянной (равностоящаяинтерполяция) и непостоянной (неравностоящаяинтерполяция). Значенияf(x_i)называютсяузлами интерполирования.

Положим, что

(4)

есть произвольная функциональная зависимость, в общем случае нелинейная относительно неизвестных коэффициентов a₀, a₁,  , a_n (число определяемых коэффициентов в общем случае не должно быть меньше числа экспериментальных точек).

Тогда задача интерполирования заключается в определении указанных коэффициентов исходя из условия (3) и нахождении межтабличных значений с использованием этой зависимости.

Рассмотрим функциональную зависимость, линейную относительно коэффициентов a₀, a₁,  , a_n. Одним из распространенных классов функций, используемых при интерполировании, является классмногочленов. Рассмотрим степенные многочлены. Функцияf(x)при этом принимается в виде:

. (5)

При интерполировании многочленами число определяемых коэффициентов должно быть равно числу экспериментальных точек.

4.3.1. Метод неопределенных коэффициентов

Метод заключается в том, что если в уравнение (5) подставить табличные значения, то определение коэффициентов сводится к решению системыmлинейных уравнений:

(6)

относительно коэффициентов a₀, a₁,  , a_n.

Следует помнить, что m=n+1, гдеm– количество экспериментальных точек в таблице,n– количество определяемых коэффициентов.

Система (6) имеет единственное решение, поскольку определитель матрицы коэффициентов (определитель Вандермонда) отличен от «0». Для решения системы линейных уравнений (6) чаще всего используют методы Крамера, Гаусса, обращения матриц (см. пункт 6.2, стр. 92) и др.

Пример 1. Задание: интерполировать табличную зависимость, представленную в табл. 3. Найти значениеyв контрольной точкеx = 3.

Р

Таблица 3

i	xi	yi
1	1	2
2	5	12
3	9	15

ешение. Количество экспериментальных точекm=3. Следовательно, порядок интерполяционного многочленаn=2. Дляn=2 формула (3) будет выглядеть:

.

Пользуясь полученной формулой, составим систему линейных уравнений:

или, подставив табличные значения, получим:

Решив полученную систему уравнений одним из методов решения систем линейных уравнений (см. пункт 6.2, стр. 92), получим значения неизвестных коэффициентов a₀= – 1,59375, a₁=3,8125, a₂=– 0,21875.

Тогда интерполяционная зависимость будет выглядеть:

.

При x=3f₂(x)=7,875.

Другим способом определения коэффициентов уравнения (5), позволяющим избежать решение системы уравнений (6) является построение интерполяционных многочленов, обеспечивающих равенство расчетных и экспериментальных значений функций в заданных узлах интерполирования, то есть точках(х_i, y_i).