shpora_po_teorii_napechatana

1.Дифференциалнье ур-е первого порядка.Задача Коши. Теорема сущ-я и единственности решениязадачи Коши. Общее и частное решение.Общий и частный интегралы.

ДУ наз ур-е вида F(x,y,y’,y’’..)=0,сввязывающее независ переменную Х, искомую ф-ю y=y(x) и ее произв y’…

F(x,y,y’)=0- ур-е первого порядка

Y’=f(x,y)- решение относит-но производной

ЗАДАЧА КОШИ

Вид F(x,y,y’)=0 -ДУ

Y(x0)=y0 -НУ

То есть задача отыскания решения ДУ,удовлетвор НУ

Геометрически это означает что задается т М0 с коорд(х0,у0)через кот должна проходить искомая интегральная кривая.

Теорема

Если в ур-ии 1 ф-я а(х,у,у’..):

а.непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области Д их иззмерения

б.имеет ограниченность в области Д частные поизводные

,то для всякой т (х0,у0,у’0)принадлеж Д имеет единств решение у=фи(x)-ур-е 1,удовлетвор НУ2

Общим решением ДУ 1 порядка наз ф-я у=фи(хc) зависящая от одной произв постоянной с и такая что

1.она при подстановке в ДУ обращает его в тождество при любых допусимых значениях постоянной с

2.каково бы ни было нач условие у(х0)=у0 можно подобрать такое знач с0 постоянной с, что решение у=фи(хс0) будет удовлетворять нач условию.

Частное решение- это решение получаемого из общего решения при каком либо определенно значении произвольной постоянной с, однако не всегда удается найти решение ур-я в виде ф-ии заданной явно.

Общий интеграл- это соотношении F(x,y,c)=0 отпределяющее общее решение этого ур-я неявно

Ур-е F(x,y,c0)=0, где с0-некотрое конкретное значение пост с называется частным интегралом

2.ДУ 1 порядка.уравнение с разделяющимися переменными. Линейные ур-я. Ур-е Бернулли

ДУ1 см билет 1

ДУ вида f1(y)dy=f2(x)dx наз дифф ур-ем с разделенными переменными

Ур-е вида

В кот коэфф при дифференциалах распадается на множители, зависящие только от х,у наз ур-ем с разделяющимися переменными

Путем деления на произведение

Оно приводится к ур-ю с разделенными переменными

Общий интеграл этого ур-я имеет вид

Замечание: деление на выражение

Может привести к потере частного решенеия, обращаемых в 0 это решение

ЛДУ 1 порядка-это ур-е линейное относително неизвестной ф-ии и ее производная

Dy/dx +P(x)y=q(x), где P(X) и q(x)- заданные ф-ии

Ур-е бернулли

Dy/dx+P(x)y=q(x)yв степени н

Где н не равно 0 и 1

При н=0 и 1 ур-е линейное, у ур-е бернулли интегрируется методом вариации произвольной постоянной, а так же с помощьью методов представления искомой ф-ии в виде произведения 2-х ф-й:

Y(x)=u(x)v(x)

U’v+uv’+P(X)uv=q(x)(uv)в степени н

Решение ищется из системы

V’+P(x)v=0 (1)

U’v=q(x)(uv) в степени н (2)

Из 1 нах v=v(x) и подставляем в 2

3.ДУ высшего порядка.задача коши. Теорема сушестввования и единственности задачи коши. Общее и частное реш-е.общий и частный интеграл

ДУ н-го порядка имеет вид:

F(x,y,y’…)=0 или yв степени н=f(x,y,y’…y(в степени (н-1)) (1)

Задача нахождения решения у=фи(х) ур-у (1) едовл нач условиям

У(х0)=у0,у’(x0)=y’0….y(x0)в степени (н-1)= у0 в степени н-1 (2) наз задачей кши для ур-я 1

Теорема

Если в ур-ии 1 ф-я а(х,у,у’..):

а.непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области Д их иззмерения

б.имеет ограниченность в области Д частные поизводные

,то для всякой т (х0,у0,у’0)принадлеж Д имеет единств решение у=фи(x)-ур-е 1,удовлетвор НУ2

Общим решением ду н-го порядка у в степени н=f(x,y,y’…yв степени н-1) в некоторой области Д наз-ся ф-я у=фи(х,с1,…,сн) зависящее от н-произвольных постоянных с1…сн, удовл след требованиям:

1.при любых допустимых значениях пост с1…сн фф-я у=фи(х,с1,…сн) явл решение диф ур-я

2.каковы бы не были нач условия у(х0)=у0, у’(x0)=y0’….

У(х0) в стерени н-1=у0 в степени н-1

Сущ значения с1=с1 в степени 0….сн=сн в степени 0 постоянных таких, что ф-я у=фи (х,с1 в степени 0, …сн в степени 0) ял решением ур-я 1 и удовл нач условиям 2

Решение получаемое из общего при конкретных значениях постоянных с1….сн наз частнм решением

Соотношение фи(х,у,с1…сн)=0 неявно определяющее общее решение наз общим интегралом ДУ1

Выражение фи(х,у,с,…сн)=0 наз частным интегралом

4.ДУ высшего поряядка допускающие понижение порядка.

У в степни н =f(x), где f(x) известная непрерывная ф-я

Учитываем, что у в степени н=((у в степени н-1)’

Dy в степени н-1/dx=f(x)

ʃdy в степени н-1=ʃf(x)dx

y в степени н-1=ʃf(x)dx=f1(x)+c1

y в степени н-2 =ʃ(f1(x)+c1)dx=f2(x)+c1x+c2 и тд до тех пор пока не восстановим всю ф-ю

5.ЛОДУ высшего поряда.св-ва их решений

ЛДУ н-го порядка наз ур-е линейное относительно неизвестной ф-ии и всех ее производных

Если g(х)=0,то ур-е наз линейным однородным. Впротивном случае ур-е наз еоднородным

пусть ЛОДУ g(x)=0

Из теоремы существования и единственности решения задачи коши следует следующее утверждение:

Если коэфф-ты Рк(х), к=1….н уравнения 1 непрерывны на отрезке а,в, тоо каковы бы не были нач условия у’(x0)=y0’…y(x0) в степени н-1=у0 в степени н-1

Сущ единственное решение ДУ 1, удовлетворяющее этим начальным условиям

СВ-ВА:

1.если ф-я у0(х) явл-ся решением ЛОДУ, т е L[y]=0? То ф-я сy0(х), где с- произвольная постоянная так же явл решением этого ур-я

Док-во:

L[cy0(x)]=cL[y0]=0

2.если ф-я у1(х) и у2(х) явл решением ЛОДУ, т е L[y]=0, то у1(х)+у2(х) тоже явл решением этого ур-я

Док-во

L[y1(x)+y2(x)]=L[y1(x)]+L[y2(x)]=0 тоже явл-ся решением

3. следствие

Линейная комбонация с произвольными коэфф ∑сiyi(x) решения у1(х)…уm(х)=0 ЛОДУ L[y]=0 яв-ся решением того же ур-я

4.если ЛОД с действит коэфф L[y]=0 ,Pk(x) y(x)=u(x)+v(x), где к=1,2,3….. имеет комплексное решение , то действит часть этого решения u(x) и его мнимая часть v(x) в отдельности явл решением одного и того же ур-я

Док-во

Используя св-во оператора линейности

L[u+iv]=L[u]+iL[v}=0 = > L[u]=0 и L[v]=0

6.Линейно зависимые и линейно независимые системы ф-й.Определитель Вронского.Необходимое условие линейной зависимости системы ф-й

Система ф-й линейно независима на отрезке [а,в] , если тождество

На отрезке а,в выполняется только тогда, когда се коэфф равны 0.

Система ф-й наз линейно зависимой на отрезке [а,в], если тождество 1 выполняется, кгда хотя бы один из пост коэфф альфа отличен от 0.

УТВЕРЖДЕНИЕ

Если де ф-ии линейно зависимы на отрезке, то на этом отрезке они пропорциональны.

Если две ф-ии пропорциональны, то они линейно зависимы.

Док-во:

1.ЛЗ= > пропорциональны

Определитель Вронского системы ф-й.

У1(х)….ун(х), принадлежащий пространству с в степени н-1[а,в] наз определителем.

Матрица этого определителя наз Матрицей Вронского

НЕОБХ УСЛОВИЕ

Если ф-ии у1(х)…ун(х) линейно зависимы на отрезке [ав], то их вронскиан обращается тождественно в 0 на этом отрезке, те w(x)=0 для всех х принадл [а,в]

Док-во:

7.Условия линейной независимости решений ЛОДУ.

Для того что бы часть решений у1(х)…ун(х) ЛОДУ, у в степени н+ Р1(х)*у в степени н-1 +…+Рн(х)*у=0 с непрерывными отрицат коэфф были линейно независимы на интервале(а,в).необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского системы решения был отличен от 0

8.ЛОДУ.ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ. СТРУКТУРА ОБЩГО РЕШЕНИЯ

Если g(х)=0,то ур-е наз линейным однородным. В противном случае ур-е наз еоднородным

пусть ЛОДУ g(x)=0

теорема о структуре общ реш однор ур-я

если в ур-ии L[y]=0 все коэфф аi(x) непрерывны на отрезке [а,в], то для них сущ н линейно независ она отр [а,в] решений у1(х)…ун(х).при этом любое другое решение ур-я явл линейной комбинацией, указанных линейно независ решений у1(х)…ун(х), те общее решение у-я имеет вид:

у=с1у1(х)+…+снун(х), где с1…сн- произвольные постоянные

Фундаментальная сист решений ЛОДУ

Из этой теоремы следует, если известно н линейно- независимых частных решений ЛОДУ н-го порядка, то всякое другое решение этого ур-я представляется в виде линейных комбинаций этих частных решений и значит линейно зависима с ним, отсюда сследуеет максимальное число линейно независимых решений.

ЛОДУ= его порядку. ТО совокупность решений ЛОДУ образует линейное пр-во, размерность которого =порядку дифф. Ур-я

Совокупность любых н-линейно независимых частных решений ЛОДУ н-го порядка наз его фундаментальной системой решений или базисом его решений.

9.МЕТОД ЭЙЛЕРА РЕШЕНИЙ ЛОДУ С ПОСТ КОЭФФИЦЦИЕНТАМИ

Рассмотрим ДУ 2-го порядка

(1 ) y”+p1y’+p2y=0, гд р1 и р2- действительные числа

Частное решение будем искать в виде

(2 )

Ф-я у=е будет решением ур-я (1), те обращать его в тождество по х, если лямбда будет удовл алгебраическому ур-ю:(3)

УР-Е (3) наз характеристическим по отношению к 1, его левая часть хар-ким многочленом; ур-е1 наз квадратным

1.действительными и разными

2.комплексными

3.действительным и равными

10.СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ.МЕТОД ЛАГРАНЖА ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ.

Рассмотрим ЛНДУ L[y]=у в степени н+ Р1(х)у в степени н+..+Рн(х)у=f(x) (1), где р1(х),рн(х) и f(x) непрерывны на [а,в] ф-ии

Ур-е L=у в степени н+Р1(х)у в степени н-1+..+Рн(х)у=0 (2), называется соответствующим ему однородным ур-ем

Теорема о стр-е общего решения ЛНДУ

Общим решением ур-я1 явл сумма его произвольного частного решения у(чн) и общего решения уоо=с1у1+..снун соответствующего однородного ур-я, т е у=уоо+учн

Метод лагранжа

Рассмотрим ЛНДУ

L[y]= у в степени н+ Р1(х)у в степени н+..+Рн(х)у=f(x)

Теорема

Пусть у(х)….ун(х)-ФСР ОДУ L[y]=0 с непрерывными на отрезке а,в коэффициентами Рj(х)

Если правая часть f(x) соответствующего неоднородного ур-я непрерывна на а,в, т его частное решение можно искать в виде:

Учн=с1(х)уi(x)+ …+сн(х)ун(х), где с1(х)…сн(х)- ф-ии представляющие собой варьированные постоянные общего решения однородного ур-я находятся из системы

Док-во:

Докажем для ур-я 2 порядка

L[y]=у’’+P1(1)у’+P2(x)у=f(x) (1)

В этом случае система для нахождения с1’(x)+c2’(x) имеет вид

11.МЕТОД ПОДБОРА ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ С ПОСТ КОЭФФ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

Частное решение ЛНДУПК можо найти методом подбора. Рассморим ур-я допускающие применение этого способа.

L[y]=у в степени н+Р1у в степени н-1+..+Рну=Рm(х) (1)

Р1…Рн- действит числа

Рm(x)-данный многочлен степени m

Рm(х)=А0х^m+A1x^(m-1)+..+Am, A0не равно 0хар-кое ур-е для соответствующего однородного ур-я имеет вид

И сущ частное решение учн(х) ур-я (1) имеющее вид многочлена степени m

Учн(х)=В0х^m+Bix^(m-1)+..+Bm, где В0,Вi….Bm-неопределенные коэффициенты.

Подставляя учн(х)->(1) и сравнивая коэфф при одинаковых степенях х в левой и правой частях получим

РnB0=A0=> B0=A0/Pn если Рnне равно 0

mPn-1B0+PnB1=A1=> B1=(A1-mP(n-1)B0)/Pn

т е нах значения B0,Bi…Bm

Итак, если лямбда=0 не явл корнем хар-кого ур-я фи(ляямбда)=0, то сущ частное решение учн(х) (1), имеющее следующий вид многочлена стоящего в правой части ур-я 1, т е учн(х)=В0х^m+B1x^m-1+..+Bm ( 2)

Предположим что Рn=0, причем допустим, что Рn-1=Pn-2=…=Pn-r+1=0, т е лямбда =0 явл r-кратным корнем хар-кого ур-я фи(лямбда)=0 при этом ур-е имеет вид:

У^n+P1y^n-1+…+Pn-r y^r=Pm(x) (3)

Полагаем что у^r=z, рходим к преддыдущ случаю=> сущ частное решение ур-я (3) имеющее вид:

Учн=В0х^m+B1x^m-1+…+Bm

Отсюда получаем, что учн(х) многочлн степени m+r

Причем члены содержащ х^r-1 и ниже будет иметь произвольные пост коэфф., кот могут быть в частности выбраны =0, тогда частное решение примет вид:

Учн(х)=х^r(B0x^m+B1x^m-1+…+Bm)

Если лямбда =0 есть корень кратности r хар-кого ур-я r(лямбда)=0, то частное решение учн(х) ур-я(1) надо искать в виде произведения х^r на многочлен Qm(x) степени m с неопределенным коэфф.

Учн(х)=x^rQm(x)

Принцип суперпозиции

L[y]=у^n+a(n-1)y^n-1+..+a1y’+a0y=h(x)

Если h(x)=альфа1h1(x)+..альфаm ym(x) решений y1(х), уm(x) уравнений

L[y1]=h1(x), L[ym]=hm(x)

Отсюда в силу линейности оператора L из тождеств L[y1]=h1(x), L[ym]=hm(x) вытекает тождество

L[альфа1у1(х)+..+альфаm ym(х)]=альфа 1Ly1(x)+…+альфаm уm[х)=альфа1 h1(x)+..+альфаm hm(x)

12.Нормальная система диф ур-й. Задача Коши. Теорема сущ и единственности решения задачи Коши

Система ур-й 1 порядка, разрешенных относит-но производных от искомых ф-й наз нормальной и имеет вид:

Dx1/dt=f1(t,x1,..xn)

(1)

Dxn/t=fn(t,x1,..,xn)

Здесь t- независимая переменная

Х:=х1(t)

Задача Коши

пусть (t0,x1^0,…xn^0) – фиксированная точка в области Д

задача нахождения решения х1=х1(t),….,xn=xn(t) (1)

удовлетворяющего нач условию

(3) х1(t0)=x1^0…xn(t0)=xn^0 называется задачей коши или начальной задачей для сист коши

Теорема сущ и един зад коши

Пусть имеем норм сист ДУ:

Dx1/dt=f1(t,x1,…xn) и пусть ф-ии fi(t,x1,…,xn) определены в некоторой n+1 одномерной области Д

Если сущ крестность Ω точки М0 с координатами(t0,…x1^0..xn^0) в которой ф-я f1 непрерывна по совокупности аргументов и имеет непрерывные в области Д<R^n+1 частные производные

По переменным (х1,…хn), то найдем интервал:

T0-h0<t<t0+h0 на которой сущ единственное решение норм системы, удовлетворяющее нач условиям

13.нормальная система ЛДУ.структура общих решений однородных и неоднородных сиситем. структура общих решений однородных и неоднородных сиситем

Сист ДУ наз линейной если она линейна относит реизвестных ф-й и их производных, входящих в ур-е. норм сист ЛДУ имеет вид:

Dx1/dt=a11(t)x1+…+a1n(t)xn+f1(t)

Dxn/dt= an1(t)x1+..+ann(t)xn+fn(t)

Aij(t) и fj(t)-известные ф-и

Yj=yi(t)-неизвестные ф-ии

Dx/dt=Ax+F(t) – в матричной форме

Теорема о структуре общего решения линейной однородной системы

Общим решением в области [а,в] |xк|<+бесконечность к=1..n линейной однородной системы dx/dt=Ax с неперывными на отрезке a<=t<=b коэффициентми аij(t) является линейная комбинация n-линейно независимых на [а,в] решений х1…хн(t) системы

Хоо=∑сixi(t)=Ф(t)c

C={c1…cn} –произвольный пстоянный вектор

Ф=(х1…хн) – фундаментальная матрица решений системы

Теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы

Общим решением в области [а,в] |xк|<+бесконечность к=1..n линейной неоднородной системы dx/dt=Ax +F(t)с неперывными на отрезке a<=t<=b коэффициентми аij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения ∑скхк(t) соответствующей однородной системы и какого нибудь частного решения хон=хоо+хчн

14.АВТОНМНАЯ НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ ДУ. ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ, ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ.ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧКИ ПОКОЯ (НУЛЕВОГО РЕШНИ) СИСТЕМЫ

Нормальна система называется автономной если ее правые части не зависят явно от t , то есть она имеет вид

Dxi/dt=fi(x1,x2…xn), i=1…n (1)

Это означает что закон изменения неизвестных ф-й, описанный автономно системой не меняется со временем.

Dx1/dt=f1(x1,x2)

Dx2/dt=f2(x1,x2)

Если х1…хn- решение системы на итервале (а,в), то мн-во точек t,x1(t)…xn(t) принадлежит R^n+1 при t пробегающих отрезок [а,в] образует в R^n+1 пр-во некоторую линию ее называют интегральной кривой системы.

R^n это n-мерное пр-во переменных х1…хn- называют фазовыми пр-ми.

Фазовая траектория- это проекция интегральной кривой в фазовом пр-ве.

Фазовый портрет- это совокупность всех фазоых траекторий на фазовой пл-ти

Имеем автономную систему

Dxi/dt=fi(x1,x2..xn), i=1…n (1)

Пусть а1…аn это такая совокупность чисел, что fi(a1…an)=0

I=1..n, тогда хi(t)=ai будет решением.

Точка (а1…аn) фазового пр-ва (х1…хn) называют точкой покоя данной системы.

Понятие устойчивости в точке покоя системы

Точка покоя хi=0, i=1…n,системы (1) устойчива или для любого положительного е>0

(0<e<R) существует δ=δ(е)>0 такая что любая трактория системы, начинающаяся в начальный момент t=t0 в точке М0 принадлежащей S(δ) вс время остается в шаре радиуса R.

15.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Комплексное число-выражение ида х+уi; х,у- действительные числа и i- мнимая единица, удовлетворяющая условию i^2=-1

Обозначение

r=x+iy

x=Rer- действительная часть r

y=Imr- мнимая часть r

комплексное число z=x-iy называется сопряженным числу z=x+iy

комплексные числа бывают:

1.дйствительными х+i0=х

2.мнимыми х+iy, где у не равно 0

3.чисто мнимые 0+iy где у не равно 0

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Число z=x+iy изображается точкой M(x,y) на комплексной пл-ти или вектором ОМ={х,у}

Х-действительная ось

У-мнимая ось

Длина r вектора ОМ называется моулем комплексного числа z и обозначается |z|:

r=|z|=квадратный корень из х^2+y^2

угол фи, образованный вектором ОМ с осью ох наыается аргументом комплексного числа z и обозначается фи=Argz и определяется с точностью до 2пик

к=0,+-1,+-2……..

Argz=argz+2пик

argz-главное значение аргумента Argz

-пи<arctz<пи

Форма записи

1.z=x+iy алгебраическая

2.х=|z|cosфи, у=|z|sinфи

Z=|z|(cos фи+isinфи) – тригонометрическая форма записи

3.используя формулу Эйлера, получим

e^iфи=cos фи+I sin фи

z=|z|e^i фи –показательная

комплексные числа z1 и наз равными только тогда, когда

Re z1=Re z2

Im z1=Im z2 =>z1=z2

Действия над комплексными числами

Пусть z1=x1+I y1, z2=x2+I y2

1.суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z1+z2=x1+x2+i(y1+y2)

2.разностью комплексных чисел z1 и z2 наз число z1-z2=x1-x2+i(y1-y2)

В частности |z1-z2|=корень из ((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)

Явл расстоянием м\у точками, изображающими числа z1 и z2/

|z-z0|=R ур-е окружности радиуса R с центром в т z0

|z-z0|<R область внутри круга радиуса R

3.произведением комплексных чисел z1 и z2 наз число z1z2=x1x2-y1y2+i(xy2+x2y1)

Док-во

(x1+iy1)(x2+iy2)=x1x2+ix1y2+ix2y1+i^2y1y2=x1x2-y1y1+i(x1y2+x2y1)

В частности z*z=(x+iy)(x-iy)=x^2-i^2y^2=x^2+y^2=|z^2|

4.частным от деления z1 на z2 наз комплексное число

Z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x2^2+y2^2)+(x2y1-yx1y2)/(x2^2+y1^2)

Док-во

Z1/z2=z1/z2*z2/z2=z1z2/|z2|^2=(x1+iy1)(x2-iy2)/(x2^2+y2^2)=(x1x2+y1y2)/(x2^2+y2^2) + i (x2y1-x1y2)/(x2^2+y2^2)

Z1z2=|z1|e^i фи1 * |z2|e^I фи2=|z1|z2e^ i(фи1+фи2)

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются

Z1/z2=|z1|e^iфи1/|z2|e^I фи2=|z1|/|z2| *e^i(фи1-фи2)

5.возведение комплексного числа в натуральную степень n

Z^n=|z|^n * e^in фи или z^n=|z|^n (cos n фи + i sin n фи)

Подставляя |z|=1 получаем формулу Муавра

(cos фи +I sin фи)^n= сos n фи+ I sin n фи

6.извлечение корня n-ой степени

Корень n-ой степени из комплексного числа z имеет n различных значений, ко нах по формуле

Корень n-ой степени из z= корень n-ой степени из |z| *( cos(фи+2пи к)/n+ I sin (фи+2пи к)/n)

K=1,2…n-1; фи=arg z

Точки, соответствующие значениям корень n степени из z явл вариальными правильного n- угольника, вписанного окружность радиуса R=корень n степени из |z| c центром в начале координат

16.ПОНЯТИЕ ФКП. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ Ф-ИИ И ИХ СВ-ВА

Пусть Д –множество точек комплексных чисел z=x+iy

E-мн-во т комплексных чисел w=u+iv

Если каждому числу( точке) z принадлеж Д по некторому правилу поставлено в соответствии определенно число (m) w принадл E, то говорят, что на мн-ве Д определена однозначно ф-я комплексного переменного w=f(z) отображающая мн-во Д в мн-ве Е

Если каждому z принадл Д соответствует несколько значений w, то ф-я w=f(z) называется многозначной

Например w=корень из z –двузначна на всех плоскостях z, кроме z=0

Предел ф-ии

Пусть ф-я w=f(z) определена в некоторой окрестности т z0=x0+iy0, кроме быть может самой т z0

Пусть z0не равно бесконечности, А не равно бесконечности, а число А=lim f(z) при z->z0, если для любого е>0 можно указать δ=δ(е)>0, такое что для любого z удовл условию 0<|z-z0|<|f(z)-A|<e

Существование этого предела раносильно одновременному существованию действит ф-ии u(x,y) и v(x,y)

Остаются справедливыми основные предельные соотношения

Limf(z) при z->z0 +- lim g(z) при->z0= lim(f(z)+-g(z)) при z->z0

Limf(z) при z->z0 * lim g(z) при->z0= lim(f(z)*g(z)) при z->z0

Limf(z) при z->z0 /lim g(z) при->z0= lim(f(z)/g(z)) при z->z0

Lim g(z)пр z->z0 не равен 0

Непрерывность ф-ии

Ф-я w=f(z) называется непрерывной в т z0, если сущ lim f(z) при z->z0=f(z0)

«е-δ» : …для любого е>0 сущестует δ=δ(е)>0

Если ф-я f(z) непрерывна в аждой точке мн-ва Д, то говорят, что ф-я f(z) непрерывна на мн-ве Д

17.ПРОИЗВОДНАЯ ФКП. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ Ф-ИИ. УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА

Пусть Δz=z-z0 – приращение аргумента

Δw=f(z)-f(z0) – приращение ф-ии

Если существует lim Δw/Δz при Δz->0, то он наз-ся производной ф-ии f(z) в т z0

Замечание. При этом Δz->0 по любому из направлений

Из определ поизводной и св-в пределов =>что правило дифф.сохраняется

ТЕОРЕМА 1.НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ДИФФ-СТИ

Ф-я f(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифф-ма в т z=x+iy, то в т (х,у) сущ частные производные ф-ии U(x,y) и v(x,y), по переменным х и у,причем

17.ПРОИЗВОДНАЯ ФКП. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ Ф-ИИ. УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА

Пусть Δz=z-z0 – приращение аргумента

Δw=f(z)-f(z0) – приращение ф-ии

Если существует lim Δw/Δz при Δz->0, то он наз-ся производной ф-ии f(z) в т z0

Замечание. При этом Δz->0 по любому из направлений

Из определ поизводной и св-в пределов =>что правило дифф.сохраняется

ТЕОРЕМА 1.НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ДИФФ-СТИ

Ф-я f(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифф-ма в т z=x+iy, то в т (х,у) сущ частные производные ф-ии U(x,y) и v(x,y), по переменным х и у,причем

Док-во:условие теоремы сущ lim ((f(z0+Δz)-f(z0))/Δz=f’(z0) независящие от способа приближения к т z0

Δz=z-z0=(x-x0)+i(y-y0)=Δx+iΔy

Δf(z)=f(z)-f(z0)=[u(x,y)-u(x0,y0)]+i[v(x,y)-v(x0,y0)]=Δu-iΔv

Δf(z)/ Δz=( Δu+i Δv)/( Δx+i Δv)

ТЕОРЕМА 2.ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ

Пусть ф-ии u и v дифф в т (х,у) как в ф-ии дйствительных переменных и в этой точке выполнено условие Коши-Римана, то ф-я компексных переменных f(z)=u(x,y)+iv(x,y) , то ф-я комплексных переменных f(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференц в точке z(x+iy)

Док-во: т к ф-ии u(x,y) и v(x,y) диф в т z, то и приращение можно представить в виде:

Δu=u Δx+ u Δy+ α1

Δv=v Δx+ v Δy+ α2

Где α1 α2 бесконечн малые ф-и стремящиеся к 0 пр

|Δz|= корень из (Δх^2+Δy^2) стремящемся к нулю

Δf(z)/ Δz=(ΔU+iΔv)/( Δx+iΔy)=((uΔx+uΔy+α1)+(vΔx+vΔy+α2))/( Δx +iΔy)=

Ф-я комплксных чисел наз аналитической в точке, если она дифф в этой точк и некоторой ее окрестности

Ф-я w=f(z) дифф-ма в каждой точке некоторой области Д называется аналитической ф-ей в этой области

Ф-я фи(х,у) наз гармонической в области Д если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области ур-ю Лапласа:

Если ф-я z=u(x,y) + iv(x,y) аналитичная в некоторой области Д, то ее действительная часть u(x,y) и мнимая часть v(x,y) являются гармоническими ф-ми в соответствующей области пл-ти ХОУ

Покажем это дифференцируя первое равенство из условия Коши Римана, а второе по у

Uxx=Vyx

Uyy=-Vxy

Учитывая, что Vxy=Vyx, получим Uxx+ Uyy=0

Аналогично Vxx+Vyy=0

18.ИНТЕГРАЛ ОТ ФКП. ЕГО СВ-ВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

Пусть ф-я w=f(z) однозначно определена на кусочно-гладкой ориентированной кривой АВ, принадлежащей комплексной пл-ти Z

Разобьем кривую АВ на n частичных дуг точами z0=a,z1….zn-1, zn=b

Пусть т lk принадлежит [zr-,zk]; zk-zk-1=Δzk

Состаим интегральную сумму

∑f(ck) * Δzk (1)

Если при мах |Δzk|->0 существует предел интегральных сумм (1) не зависящий от способа разбиения кривой на частные дуги и от выбора т ck на них,то этот предел наз интегралом от ф-ии f(z) по кривой АВ

Lim ∑f(ck)Δzk=ʃf(z)dz

Пусть f(z)=u+iv, z=x+iy

Dz=dx+idy

ʃf(z)dz=ʃudx-vdy+ iʃudu+vx (2)

I1,I2-криволинейные интегралы второго рода ( по координатам)

Формулу (2) лгко запомнить, если записать в виде:

ʃf(z)dz=ʃ(u+iv)(dx+idy)

СВ-ВА

1.линейность

2..аддитивность

3.

4.оценка интеграла по модулю

Вычисление интеграла от ФКП

Пусть z=z(t)= x(t)+iy(t)

Альфа<=t<=бета

Те дно параметрическое представление, тогда справедлива формула

ʃf(z)dz=ʃf[z(t)]*z’(t)dt (3)

док-во

из формулы(2) следует, что вычисление интеграла от ФКП сводится к вычислению криволинейных интегралов I1 и I2 от действит ф-й

I1=ʃudx-vdy= ʃ[u(x(t),y(t)*x’(t)- v(x(t),y(t)*y’(t)]dt

I2=ʃvdx+udy= ʃ[v(x(t),y(t)*x’(t)+u(x(t),y(t)*y’(t)]dt

Подставляя в (2) получим

ʃf(z)dz=I1+I2=ʃ[[u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))]*[x’(t)+iy’(t)]dt= ʃf[z(t)]z’(t)dt

ф-я Ф(z) наз первообразной ф-ии f(z), если в этой области выполняется равенство

dФ(z)/dz=f(z)

покажем что Ф(z)=ʃf(S)dS+c (4)

c=const , z0,z принадлежит Дz

пусть w(z)=Ф(z)-ʃf(S)dS=u+iv

w’(z)=f(z)-f(z)=0

u(x,y)=c1 v(x,y)=c2

w(z)=c1+ic2=const

в (4) подставим z=z0 пусть Ф(z0)=c

ʃf(S)dS=Ф(z)-Ф(z0) -формула ньютона-лейбница

таким образом если ф-я f(z) аналитична в односвязной области Д, содержащей т z0 и z , то имеет место формула Ньютона-Лейбница, где Ф(z) какая либо первообразная ф-я f(z)

19.теорема Коши об интеграле от аналитической ф-ии

Ели ф-я f(z) аналитична в односвязной обл-ти Д , то интеграл этой ф-ии по любому замкнутому контуру L, лежащему в области Д=0

ʃf(z)dz=0

док-во

направление обхода выбирается положительным, т е внутренняя область при обходе остается слева

ʃ=ʃ=> ʃ-ʃ=0 =>ʃ+ʃ=0

ʃf(z)dz=0

теорема коши для двусвязной обл-ти

пусть ф-я f(z) однозначно опр-на и аналитична в двусвязной обл-ти Д и на границах Г и ɣ

тогда

ʃf(z)dz=ʃf(z)dz

Г ɣ

Док-во

Применим теорему коши для односвязной области

Д1: ʃ + ʃ + ʃ + ʃ=0

АВ ɣ1 СД Г1 +

Д2: ʃ + ʃ + ʃ + ʃ=0

ВА Г2 ДС ɣ2

Д: ʃ + ʃ + ʃ + ʃ=0

ɣ1 Г1 Г2 ɣ2

ʃ + ʃ = ʃ + ʃ

Г1 Г2 ɣ1 ɣ2

ʃf(z)dz=ʃf(z)dz

Г ɣ

Интегральная теорема коши для многосвязной области

Пусть ɣ1…ɣn, Г- границы многосвязной области, причем контур Г охватывает ɣ1…ɣn

Пусть f(z) однозначно определена и аналитична в обл Д и на границах, тогда ʃ f(z)dz= ∑ ʃ f(z)dz

Док-во аналогичное как для двусторонней области

20.ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ. ПОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ(БЕЗ ДОК-ВА)

Пусть ф-я f(z) аналитична в обл Д и непрерывна в замкнутой обл-ти Д с чертой, тогда для любой т z области имеет место формула

D(z0)=1/2пи I ʃf(z)/z-z0 dz (1)

Г- граница обл Д проходимая в положительном направлении

Интеграл находящийся в правой части равенства (1) называется интегралом Коши, а сама формула наз интегральной формулой Коши

Формула Коши позволяет опр значение ф-ии f(z) в любой т z0 лежащей в области Д через ее значене на границе этой обл-ти

Док-во

ʃf(z)/z-z0 dz=ʃ(f(z)-f(z0))/z-z0 dz+ f(z0)ʃdz/z-z0

Бесконечная дифф аналитической ф-ии

Пусть ф-я f(z) аналитична в области Д и непрерывна в Д.тогда в каждой внутренней т z в области Д у ф-ии f(z) сущ производные всех порядков и имеет место формула

F^n(z0)=n!/2 пиi ʃf(z)dz/(z-z0)^n+1 (4)

Г-граница области Д,n=1,2,..

21.РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ Ф-ИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД. КРУГ СХОДИМОСТИ. РАДИУС СХОДИМОСТИ. РЯД ТЕЙЛОРА

В т в кот ф-я комплексного переменного явл налитичной наз ее правильной или регулярной точкой

Т в которой нарушается аналитичность ф-ии наз ее особми точками

РЯД ТЕЙЛОРА

Степенной ряд ∑f^(n)(z0)/n! *(z-z0)^n наз рядом тейлора для ф-ии f(z)

ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА

Пусть ф-я f(z) аналитична в круге |z-z0|<R , тогда в этом круге ф-я f(z) может быть представлен в виде суммы сходящегосся степенного ряда f(z)=∑c_n(z-z0)ⁿ

Док-во

Пусть т z –точка круга |z-z0|<R

Построим круг r<R с центром

Z0 содержащим т z

ɣ1:

Если ф-я f(z) представлена в круге |z-z0|<R в виде степенного ряда f(z)=∑c_n(z-z₀)? То коэффициент этого ряда определяется однозначно по формулам cn=f⁽ⁿ⁾(z0)/n! (n=0,1..)

22.РЯД ЛОРАНА И КОЛЬЦО СХОДИМОСТИ. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ Ф-ИИ В РЯД ЛОРАНА

Ряд вида

Т.е .разложене ф-ии по положительным и отрицательным степенямz-z0 наз рядом Лорана

В (1) ряд ∑с_n(z-z₀)ⁿ (2) наз главной частью ряда Лорана

Ряд ∑с_n(z-z₀)ⁿ (3) правильная часть ряда Лорана

∑сn(z-z0)^n=∑cn(z-z0)^n+∑cn(z-z0)^n

Ряд (1) наз сходящимся только в том случае когда сх ряды (2) и (3)

Под ссумой ряда (1) в случае сходимости понимается сумма

Теорема

Любую фf(z) однозначную и аналитическую в круговом кольце r<|z-z0|<R можно представить в этом кольце в виде суммы ходящегося ряда

F(z)=∑cn(z-z0)^n (5)

Коэффициенты cn которго определены однозначно и вычисляются по формуле

Док-во

Возьмем произвольную т z

Выберем контуры ɣ1 и Г’ как на

Рисунке таким образом чтобы т z

Нах м\у этими окружностями

По интегральной теореме Коши

Для многосвязной обл-ти имеем

Из док-ва теоремы тейлора

В силу теоремы коши значение интеграла I1 и I2 не изменится если заменить окр-ти Г’ и ɣ’ любой окр-ю ɣp |z-z0|<p, где r<p<R

Это позволит объединить формулу для вычислений c_n и c_-n

C_n=1/2пи I ʃ

Подставляем в выражение I1и I2

F(z)=I1+I2=ʃcn(z-z0)^n+ʃcn(z-z0)^n=ʃcn(z-z0)^n

23.ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИАНАЛИТИЧЕСКОЙ Ф-ИИ,ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. Ряд лорана В окрестности особой точки

Особая т z0 ф-ии f(z) наз изолированной особой точкой если сущ δ>0 бля любого z: 0<|z-z0|<δ, если ф-я f(z) явл аналитической

Классификация

Пусть т z0 изолированная особая т f(z), тогда сущ δ>0 для любых z: z принадлежит δ(z0), ф-я f(z) аналитичесая => в кольце 0<|z-z0|<δ ф-я разлагается в ряд Лорана

1.если все коэфф главой части равны 0 то т z0 наз устранимая особая точка

2. если главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов не равное 0, то т z0 называется полюсом ф-ии, причем наибольший показатель степпеи в виде членов главной части называеется порядком полюса

3.если главная часть содержит бесконечное число членов не равное , то т z0 аз существенно особой точкой ф-ии f(z)

Рассмотрим оведеие в окрестностях особой т различн.

Пусть т z0-устранимая особа точка ф-ии f(z) тогда f(z)=c₀+c₁(z-z₀)+..+c_n(z-z₀)ⁿ+…=S(z)

Сумма ряда s(z) аналитич ф-я => непрерывна

Lim f(z)=limS(z₀)=S(z₀)=c₀

Существуетlim f(z)=c₀ конечный предел => ф-я ограничена в окрестности т z₀

24.ПОНЯТИЕ ВЫЧЕТА АНАЛИТИЧЕСКОЙ Ф-ИИ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЫЧЕТОВ

Пусть ф-я f(z) однозначно опрделена и аналитична на контуре Г и внутри всюду за исключением т z0

Вычетом ф-ии f(z) относительно изолированной особой точки z0 наз число

Res f(z0)=1/2пи I ʃ f(z)dz

Г: |z-z0|=r достаточно малая определяющая из Лорана =>

c_-1=1/2пи I ʃ f(z)dz, таким образом вычет ф-ии f(z) в изолир особой точке z0 равен коэфф при (z-z0)^-1 в лорановском разложении этой ф-ии в т z0, т е

res f(z0)=c_-1

вычисление вычетов

1.если z0-уос, то вычет res f(z0)=0, т к c_-1=0

2.пусть z0- простой полюс( т е 1 порядка), тогда f(z)=c_-1/(z-z0)+ ∑c_n(z-z0)ⁿ

Умножим обе части этого равенства на z-z0 и переходя к пределу при z->z0, получим

Lim (z-z0)f(z)=c_-1 (1)

если ф-я f(z) можно представить в виде дроби f(z)=

где -аналитичные ф-ии, причем

, т е z0 –простой полюс

Из ф-ии 1 слдует

25.ТЕОРЕМА КОШИ О ВЫЧЕТАХ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ.

Ф-я f(z) однозначно определена и аналитична на контуре Г и внутри за искл конечного числа изолирванных особых точек z1,z2…zn, тогда

ʃf(z)dz=2 пи I ∑ res _zk f(z) (1)

построим контур для теоремы коши

ʃf(z)dz=∑ʃ f(z)dz (2)

а по определению вычета

res_zk f(z)=1/2пи I ʃ f(z)dz (3)

из (2) и (3) ->(1)

26.Ф-Я ОРИГИНАЛ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЛИНЕЙНЫЕ СВ-ВА РЕОБРАЗОВАНИЯ

Ф-я f(t) называется оригиналом или ф-ей оригиналом, если выполняется условия

1.f(t)=0 для всех любых t<0

2.f(t) или непрерывная или имеет не более конечного числа разрывов певого рода на любом ограниченном отрезке оси t.

3.сущ число М>0 и сущ лдя любых t |f(t))<=M e^

Те при возрастании t f(t) может возрастать небыстрее некоторой показательной ф-ии

Чиисло наз показателем роста ф-ии f(t)

Замечание

Ф-я f(t) может быть комплексной ф-ей действит переменных, т е f(t)=f_i(t)+if_i(t)

Изображением оригинала ф-ии f(t) называется ф-я F(P) комплексного переменного р=Ъ+iw, определяемое интегралом

F(P)=ʃ f(t) e^-pt dt (1)

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(P) называется преобразованием Лапласа

f(t)=F(P)

F(P)=f(t)

Замечание

В операционном исчислении пишут f(t) подрразумевая под этим (t)*f(t), поэтому полученные формулы перепишем след образом

1=1/p

E^at=1/p-a

Св-ва преобразования

Пусть f(t)=F(P); g(t)=G(P)

Теорема линейности преобразований Лапласа

Если f(t) и g(t) ф-ии ориинала то для любых комплексных альфа и бета :

αf(t)+βg(t)=αF(P)+βG(P) (1)

док-во

αf+βg=ʃ(αf+βg)e^-pt dt=αʃf(t)e^-pt dt +βʃg(t)e^-pt dt=αF(P)+βG(P)