seminar1-6
.pdf
Семинар 6
Синусоидальные величины. Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей при синусоидальном воздействии.
В установившемся режиме в линейных электрических цепях при действии ЭДС источников, изменяющихся по синусоидальному закону e(t) Em sin( t e ) , токи и напряжения на всех элементах электрической
цепи также синусоидальные, т.е. имеют u(t) Um sin( t u ) . Компонентные уравнения
вид i(t) Im sin( t i ) ,
определяют соотношение
между током и напряжением для идеализированных элементов электрических цепей (резистивного, емкостного и индуктивного). Система уравнений, описывающая состояние электрической цепи при действии ЭДС источников, изменяющихся по синусоидальному закону, будет дифференциально-интегральной системой уравнений.
Расчет электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях значительно упрощается с применением комплексных чисел. Синусоидальные ток, напряжение, ЭДС можно представить в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
i(t) Im sin( t i ) I m |
|
Ime |
j |
e |
|
j t |
|
, u(t) Um sin( t u ) I m Ume |
j |
e |
j t |
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e(t) Em sin( t e ) I m |
Eme |
j |
|
e |
j t |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Im - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Комплексные |
|
|
|||||||
величина |
мнимой |
|
|
части комплекса |
числа |
||||||||||||||||||
Im Ime |
j |
, |
Um Ume |
j |
, |
Em Eme |
j |
|
|
называют комплексными амплитудами |
|||||||||||||
i |
u |
e |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
соответственно тока, напряжения и ЭДС, а комплексные числа
I
|
I |
m |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
,
U |
U |
m |
|
E |
E |
|
|
, |
m |
— комплексными действующими значениями тока, |
|||
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
напряжения и ЭДС. Поскольку все токи, напряжения, ЭДС имеют
одинаковую частоту |
2 f , то введенные комплексы однозначно |
описывают i(t), u(t) и e(t) цепи. Необходимо понять принципы изображения синусоидальных величин в виде комплексной амплитуды или комплекса действующего значения (векторов на комплексной плоскости) и усвоить обратный переход – от комплексной амплитуды (действующего значения) к соответствующим мгновенным значениям i(t), u(t) и e(t).
Введение |
вместо синусоидальных функций времени комплексов |
I |
m , U |
m , |
||
|
||||||
Em или I , |
U |
, E позволяет алгебраизировать компонентные уравнения |
||||
|
|
|
||||
элементов цепи, все методы расчета линейных электрических цепей при постоянном токе могут быть применены к расчету синусоидальных токов и напряжений. Цепь в комплексной расчетной области описывается чисто алгебраическими уравнениями. Вводятся понятия реактивных сопротивлений индуктивного и емкостного элемента (учитывается влияние ЭДС самоиндукции и токов смещения на режим цепи). Эти реактивные сопротивления зависят от частоты. Введение комплексных реактивных
сопротивлений как отношений комплекса напряжения к комплексу тока позволяет учесть также сдвиг фаз между током и напряжением на реактивных элементах. Удобной иллюстрацией расчета является векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений,
отражающая соотношения между комплексами тока и напряжения на любом участке цепи и позволяющая находить графическим путем напряжение между любыми точками электрической цепи без дополнительного расчета.
Задача 6.1. Записать в полярной и алгебраической форме комплексные амплитуды напряжений и токов, мгновенные значения которых:
1) u 220sin( t 20 ) B; |
2) i 15cos( t 15 ) A; |
|
3) u 380sin( t 100 ) |
B; 4) i 100sin( t 120 ) |
A; |
Решение. |
|
1) |
u 220sin( t 20 ) B |
– |
||
синусоидального |
напряжения. Соответствующая |
|||||
Um 220e |
j 20 |
220 20 206,73 j75,24 B . |
|
|||
|
|
|||||
2) |
i 15cos( t 15 ) 15sin( t 15 90 ) |
A |
||||
мгновенное значение комплексная амплитуда
– мгновенное значение
синусоидального |
тока. |
Переход |
к |
комплексной |
амплитуде: |
I |
|
15e |
j 75 |
m |
|
||
|
|
|
15 75 3,882
j14,489
A
.
3) |
u |
значение
амплитуда
380sin( t 100 ) 380sin( t 100 |
180 ) |
B |
– |
синусоидального напряжения. Соответствующая
Um 380e |
j ( 80 ) |
380 80 65,986 |
j374,227 B. |
|
мгновенное
комплексная
4)
i 100sin( t 120 )
– мгновенное значение синусоидального тока.
Переход к комплексной амплитуде:
I |
|
100e |
j ( 120 ) |
15 120 7,5 |
j12,99 |
m |
|
||||
|
|
|
|
|
A
.
Задача 6.2. Даны комплексные амплитуды. Записать соответствующие мгновенные значения токов и напряжений:
1) 4 j3 B; 2) j0,7 |
A; |
3) 40 330 B; 4) |
1,5 A; |
Решение. 1) Um 4 j3 5 36,5 u 5sin( t 36,5 ) B .
B
. Мгновенное значение напряжения
i
2) Im j0,7 0,7 900,7sin( t 90 ) A .
A
. Мгновенное значение тока
3) |
U |
m 40 330 B |
Мгновенное |
значение |
напряжения |
|
|
|
|||||
u 40sin( t 330 ) 40sin( t 30 )
B
.
4) Im 1,5 1,5 180 A . Мгновенное значение тока i 1,5sin( t 180 ) 1,5sin t A .
Задача 6.3. Мгновенные
i2 |
6sin( t 120 ) A . Определить |
значения токов |
i1 6sin( t 30 |
i3 (t) , показания приборов. |
|
)
A
,
Решение. По первому закону Кирхгофа i3 (t) i1(t) i2 (t) . Расчет во временной области весьма затруднителен. Используем комплексный метод.
Комплексные амплитуды заданных мгновенных значений тока i (t) и i (t) : |
|
1 |
2 |
Im1 6 30 5,196 j3 A , Im2 6 120 3 j5,196 A .
Комплексная амплитуда искомого тока:
Im3 Im1 Im2 (5,196 j3) ( 3 j5,196) 8,196 j2,196 8,48 15 A .
Мгновенное |
значение искомого |
тока |
i3 8, 48sin( t 15 ) |
|||||||||
показывает |
действующее значение синусоидального тока, |
|||||||||||
А1: I1 |
I |
m1 |
|
6 |
4, 24 A , |
А2: I2 |
I |
m2 |
|
6 |
4, 24 A , |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А3: I3 |
I |
m3 |
|
8, 48 |
6 A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A . Амперметр следовательно,
Задача 6.4. Для тока
i(t) 10sin(314t ) A
известно при t=0 мгновенное
значение i(0)=8,66 А. Найти показания приборов. Как изменятся показания приборов, если частота синусоидального тока увеличится в два раза?
1) R= 10 Ом |
2) L=10 мГн |
3) C= 100 мкФ |
|
|
|
Решение. |
Начальная фаза и амплитуда определяют мгновенное значение |
|||||||||||
тока при t=0: i(0) 10sin 6,88 A, |
60 . |
Амперметры А1, А2 |
и А3 |
|||||||||
показывают |
действующее |
значение |
синусоидального |
тока |
||||||||
I |
I |
m |
|
|
10 |
|
7,07 A (определяется |
только |
амплитудой тока). |
Для |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
определения показаний вольтметров необходимо определить амплитуду напряжения на резисторе, индуктивном и емкостном элементе.
1)
u |
R |
(t) Ri(t) 100sin(314t 60 ) |
|
|
B
. Действующее значение напряжения
на резисторе V1 :
U |
U |
m |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
R |
I |
m |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
RI
10 7,07 70,7
B
.
2)
u |
|
(t) L |
di(t) |
|
L |
dt |
|||
|
|
|||
|
|
|
100 10 |
3 |
314 |
10cos(314t 60 ) 31, 4sin(314t 150 ) |
|
B
.
Действующее значение напряжения на индуктивном элементе
V2 : U
|
3) |
u |
(t) |
C |
|
|
U |
m |
L |
I |
m |
X |
|
I |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
i(t)dt |
|
|
1 |
|
||||
C |
100 10 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
3,14 7,07 22, 2
( 10cos(314t
314
B.
60 )) 318, 47sin(314t 30 ) B
Действующее значение напряжения на емкостном элементе
V3 : |
U |
U |
m |
|
1 |
I |
m |
XC I 31,847 |
7,07 |
225,87 |
|
|
|
||||||||
|
2 |
C |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
При изменении частоты синусоидального тока V1 не изменятся, показание V2 увеличится в уменьшится в два раза.
B .
показания амперметров и два раза, показание V3
Задача 6.5. Неидеальная катушка подключается сначала к источнику постоянного напряжения 100 В, а затем к источнику синусоидального напряжения частотой 50 Гц с действующим значением 100 В. В первом случае ток равен 5 А, во втором 4 А.
Определить индуктивное сопротивление и индуктивность катушки. Активное сопротивление катушки считать равным ее сопротивлению постоянному току.
Решение. Схема с источником постоянного напряжения, т.к. |
uL L |
di |
0 |
|
dt |
||||
|
|
|
имеет вид:
Следовательно, активное сопротивление катушки
R |
E |
|
100 |
20 |
|
I |
5 |
||||
|
|
|
Ом
.
Схема с источником синусоидального напряжения u 100
2 sin t
( 2 f |
314 |
рад |
) в комплексной области имеет вид: |
|
|||
|
|
с |
|
Комплексы
U 100 0
напряжения, тока и сопротивления:
B, I 4i ,
Z |
U |
R jX |
|
Z( |
|
|
L |
||||
|
I |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, Z 
R2
Индуктивное сопротивление катушки X L L
L X L 47,8 мГн .
) . |
|
|
|
||
i |
|
|
|
|
|
X 2 |
|
U |
|
100 |
25 Ом |
|
|
||||
L |
|
I |
4 |
|
|
|
|
|
|||
15 Ом , индуктивность
Задача 6.7. Определить показания приборов в цепи, если известно показание первого амперметра I1 = 1 A и заданы параметры: R1 = 100 Ом,
R2 = 200 Ом, L = 0,276 Гн, частота f = 100 Гц.
Решение. Комплексная расчетная схема:
Комплексное сопротивление катушки на заданной частоте:
X L L 2fL 173 Ом .
Пусть I1 1 0 A, тогда Uab I (R1 jX L ) 1 (100 j173) 200 60
Показание вольтметра 200 В.
B
.
I2 |
|
U |
ab |
|
|
200 60 |
1 60 A , амперметр А2 покажет значение 1 А. |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R2 |
200 |
|
||||
I |
|
I1 |
I2 |
1 1 60 1 0,5 j0,866 1,73 30 A , амперметр А покажет |
||||||||
|
||||||||||||
значение 1,73 А.
Задача 6.6. В цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора емкостью С = 1 мкФ и катушки с индуктивностью L = 20 мГн и
сопротивлением R = 50 Ом, ток
i(t) 0,5cos10 |
4 |
t |
|
A
.
Найти мгновенные значения напряжений на конденсаторе, катушке и всей цепи. Построить топографическую диаграмму.
Решение. Так как
i(t) 0,5cos10 |
4 |
t 0,5sin(10 |
4 |
t 90 ) |
|
|
|
A
, комплексная
амплитуда тока Im 0,5 90 j0,5 A . Реактивные сопротивления катушки и
конденсатора на заданной частоте |
X L L 10 |
4 |
20 |
10 |
3 |
200 Ом , |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
X |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
100 Ом . Комплексная схема: |
|
|
|
|||
С |
С |
10 |
4 |
10 |
6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Комплексное сопротивление цепи:
Z |
U |
m |
R jX |
|
jX |
|
50 |
j200 j100 50 j100 111,8 63,4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
L |
|
C |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Комплексные амплитуды: |
|
|||||||
напряжения на входе |
|
|
|
||||||
Um Z Im 111,8 63,4 0,5 90 55,9 153,4 B , |
|||||||||
напряжения на катушке
UmК (R jX L ) Im (50 j200) 0,5 90 206,16 76 0,5 90103,8 166 B,
напряжения на конденсаторе
UmС jXC Im 100 90 0,5 90 50 0 B .
Ом
.
Мгновенные значения: напряжения на входе u(t)
55,9sin(10 |
4 |
t 153,4 ) |
|
|
B
, напряжения на катушке
u |
К |
(t) 103,8sin(104 t 166 ) B , |
напряжения |
на |
конденсаторе |
|
|
|
|
|
|
u |
|
(t) 50sin104 t B . Топографическая диаграмма: |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
