Postroenie_S_i_LP_poverhnostei

УДК 744(07) П63

Р е ц е н з е н т

ведущий инженер ОАО «Пензенский часовой завод»

П. М. Великанов

Составители:

Е. М. Кирин, Н. А. Базыкина, А. Н. Вантеев М. Н. Краснов

Построение сечений и линий пересечения поверхностей :

П63 метод. указания. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. – 64 с.

Рассмотрены наиболее сложные темы курса: построение сечений многогранников и кривых поверхностей, взаимное пересечение поверхностей. Представлены основные методы построения сечений и линий пересечения поверхностей.

Методические указания разработаны на кафедре«Начертательная геометрия и графика» и предназначены для студентов, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика».

УДК 744(07)

©ГОУ ВПО «Пензенский государственный университет», 2011

2

3

Введение

Темы курса начертательной геометрии«Сечение поверхностей плоскостями частного и общего положения» и «Взаимное пересечение поверхностей» являются наиболее важными темами этой дисциплины в теоретическом и практическом смысле. По сути дела весь курс начертательной геометрии как бы подчинен обоснованию, разработке и изложению способов построения сечений поверхностей и линий их взаимного пересечения.

Особая важность перечисленных тем обусловливается их практической значимостью для конструирования машин, их деталей и конструкций. Действительно, в каждой технической форме можно найти сечения и линии пересечения отдельных элементов, которые необходимо вычерчивать на чертежах и изготавливать в натурных образцах. Практически во всех отраслях производства(машиностроение, авиастроение, судостроение, приборостроение и др.) используются методы начертательной геометрии(графические методы) для разработки чертежей конструкций, в которых необходимо решать графические задачи по построению сечений различных деталей и линий пересечения технических форм.

Внастоящих методических указаниях изложены краткие сведения о поверхностях и их классификации, представлены основные методы построения сечений и линий пересечения поверхностей, даны образцы учебных заданий по темам.

Все многообразие поверхностей в настоящих методических указаниях разделено на две группы– гранные поверхности (многогранники) и кривые поверхности, что позволяет улучшить структуру пособия и удобство пользования им. Основные термины и определения

втексте выделены подчеркиваниями.

Вотличие от большинства учебников по курсу«Начертательная геометрия» в настоящих методических указаниях материал изложен в сжатом и доступном для понимания виде и не перегружен теоретическими материалами. Примеры построения сечений и линий пересечений подобраны так, чтобы студент освоил методику решения задач и использовал ее для выполнения эпюров и чертежей по своему варианту. При объяснении решения задач широко использован основной и эффективный метод – поэтапное решение графических задач.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих начертательную геометрию, для студентовдипломников и инженеров-конструкторов предприятий и конструкторских бюро.

4

1 Общие сведения о многогранниках

Многогранники относятся к поверхностям, точнее, к гранным поверхностям, грани которых являются плоскостями. В связи с этим многогранники целесообразно выделить в отдельный вид поверхностей.

Многогранниками называются тела,ограниченные плоскими n-угольниками, которые называются граням.и Линии пересечения граней называются ребрами. Точки пересечения ребер – вершинами. Для всех многогранников справедлива формула Эйлера: сумма числа граней и вершин за минусом числа ребер есть величина постоянная, и равняется двум:

Г + В – Р = 2.

На рисунке 1.1 приведена классификация многогранников. Большую группу многогранников составляют правильные и полуправильные многогранники. Они характеризуются одинаково правильными гранями (грани – правильные треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д.); одинаковым числом ребер, сходящихся в каждой вершине; одинаковыми многогранными углами при вершинах. Полуправильные многогранники – это правильные многогранники со срезанными вершинами.

Выпуклыми многогранниками называются многогранники, располагаемые по одну сторону каждой грани. Если это условие не соблюдается, то многогранники называются вогнутымиили выпукло- вогнутыми.

Приведем примеры правильных многогранников, называемых телами Платона. Евклид доказал, что правильных многогранников может быть не больше пяти. Это следует из подсчета суммы плоских углов при вершинах любого многогранника.

Тетраэдр – это четырехгранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками.

Гексаэдр (куб) – это шестигранник, все грани которого являются квадратами.

Октаэдр – это восьмигранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками.

Додекаэдр – двенадцатигранник, все грани которого являются правильными треугольниками.

5

Русский ученый Е. С. Федоров в 1881 г. выделил выпуклые многогранники, рассматриваемые как тела, параллельным переносом которых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой. Такие многогранники называются параллелоэдрамиили телами Федорова (число их – 5, число граней – 6, 8, 10, 12, 14).

Правильные невыпуклые (выпукло-вогнутые) многогранники называются телами Пуансо (четыре вида). В этих многогранниках либо грани пересекают друг друга, либо сами грани – самопересекающиеся многоугольники.

Наиболее распространенными в технике многогранниками -яв ляются правильные и неправильные, прямые и наклонные призмы и пирамиды, а также призматоиды.

Призма – это многогранник, в двух основаниях которого находятся плоские n-угольники, а остальные грани являются параллелограммами.

Пирамида – это многогранник, в основании которого находится плоский n-угольник, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

Призматоид – это многогранник, ограниченный двумя параллельными основаниями и боковой поверхностью, состоящей из треугольников или трапеций.

На эпюре многогранники задаются проекциями ребер и вершин, совокупность которых называют сеткой. Поверхность многогранников считается геометрически непрозрачной, в связи с чем на эпюре следует определить видимость ребер методом конкурирующих точек (прямых).

Многогранники как простейшие пространственные формыис пользуются с древних времен(египетские пирамиды) по настоящее время в строительстве, в инженерных конструкциях, архитектуре и т.д.

2 Построение сечений многогранников

Сечением называется плоская фигура, которая образуется при пересечении поверхности многогранника или другой поверхности секущей плоскостью. В зависимости от направления секущей плоскости в сечении многогранников может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. Если секущая плоскость параллельна плос-

7

кости проекций, то сечение проецируется на эту плоскость в натуральную величину. В любом другом случае натуральную величину сечения необходимо определять любым методом начертательной геометрии (например, методом перемены плоскостей проекций).

На рисунке 2.1 представлено два способа построения сечения многогранников. Первый способ называют способом ребер, так как он основывается на нахождении точек пересечения ребер с секущей плоскостью, т.е. при построении сечения решают несколько раз типовую задачу о пересечении прямой с плоскостью. Полученные точки соединяют прямыми линиями.

a Ç SABC Þ Сечения 1–2–3–4

Метод ребер: АВ Ç a Þ 1; АС Ç a Þ 2;

SC Ç a Þ 3; SB Ç a Þ 4;

Метод граней: АВС Ç a Þ 1–2; SAC Ç a Þ 2–3;

SBC Ç a Þ 3–4; SAB Ç a Þ 4–1.

Рисунок 2.1 – Два метода построения сечения многогранников

8

Второй способ построения сечения называют способом граней. Согласно этому способу находят линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью т.е. несколько раз решают типовую задачу о пересечении плоскостей. Наиболее эффективным является способ ребер.

Рассмотрим построение сечения многогранника плоскостью частного положения (рисунок 2.2). В примере секущая плоскость является горизонтально-проецирующей. Решаем задачу методом ребер. На эпюре видно, что на горизонтальной проекции ребраBC, AC, SB и AS пересекаются со следом aН плоскости в точках1/, 2/, 3/, 4/ . По линиям связи находим фронтальные проекции данных точек. На горизонтальной проекции определяем последовательность соединения точек: 1–2–4–3–1 (с учетом видимости ребер). Соединяем полученные точки прямыми линиями.

Схема соединения точек: 1–2–4–3–1

Рисунок 2.2 – Построение сечения пирамиды горизонтально-проецирующей плоскостью

Задача усложняется, если секущая плоскость является плоскостью общего положения. В этом случае точки пересечения ребер с секущей плоскостью необходимо находить, используя методику решения задачи о пересечении прямой с плоскостью.

9